教えてください_:(´ω`」 ∠):_

(1) 次の方程式を解き、 Z を求めよう。 (i) Z^8 = 1 (ii) Z^4= -8-8/3i (2) 次の方程式を満たす 最小の自然数nを求めよう。 (1-√3i/2)^n+1=0

高3複素数、極形式の問題です。 この問題において2枚目の変形を使うのでしょうか。使うとしたら、使い方が分かりません🙇🏻‍♀️ 3枚目は解答です

? (3) 次の複素数を極形式で表せ。 ただし,αはの奇数倍ではないとする。 A 2006-Ania - sin a-i cos a ( nie 1+3 200) (& nia +200) ② sina-icos a

なぜ二次方程式が虚数解をもつときお互いが共役な複素数になるんですか？

(1) x2+px+q=0(p,g: 実数) が虚数解をもつとき, その1つをαと する. |α| を求めよ. 4 (2) z+ =2 をみたす複素数zについて, |z|を求め,zを極形式で表 2 せ.ただし,0°≦argz ≦180° とする. (3)(2) のについて, z” が実数となる最小の自然数nを求めよ. |精講 (1) 2次方程式 (係数は実数) が虚数解をもつとき,それらはα, a と表せます. |α|2=ad (14) を思い出せば, 解と係数の関係 (←数学ⅡI・B21) で解決です. (2) 分母を払えば2次方程式ですから, 解の公式でzを求めておいて 0°≦argz≦180° となる方を選ぶだけです. (3) zが実数とは, 「z” の虚部=0」 ということです.

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 z を 0 でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 =x+yi を満たす実数,αを0<a</ を満たす定数とする。z が偏角 αの複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x, y) の軌跡を求めよ。 *U*2301 [類 京都大] 重要 26 解答 指針偏角αの範囲が条件であるから、極形式z=r (cosatisina) (0) を利用。 ■iの形に表すことにより,x,yをそれぞれr, aで表す。 12+- 2 つなぎの文字を消去 して,x,yだけの関係式を導く。なお、>0や0<a< より, xの値の範囲に制限がつくことに注意。 ゆえに TOADE z=r(cosatisina) (x>0,0<a</1/2)とすると ゆえに 0<a</であるから よって r+ cos a' - 1 (cosa + sina) == ² ( cos x r= 2 COS r 2 -=1から 練習 ③78 1 z+ -=r(cosa+isina)+¹(cosa-isina) 2 * = = =(r+ + )cosa+i(r— — )sina cosa, y=(r-1) sina x=(x+1/27) 1 x 2 cos a x² Acos2a 双曲線 w=z+. =r+ r a² cos a よって x≧2cosa また, >0 から ゆえに したがって 求める軌跡は osax + cos a>0, sin a>0 y sina y 表す図形 (2) r sin a したがって 4sin² a ここで, >0であるから, (相加平均) (相乗平均) により x²y² COS α -(tana)x<y<(tana)x 4 cos' a 4sin'α ;-). - / - ( 1 x =2 2. 等号はr=1のとき成り立つ。 _____________> +___>0, sina sin a COS α sina sina)=1 COS α COS α 63401 -=1のx≧2cosα の部分 < 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 1 2 =-{cos(-a)+isin(-a)} ◄2+1/2=x z+ =x+yi 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, y が実数 値全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim m(x-¹)=∞, に lim (-1)=-∞であり, sinα> 0から lim y=-∞, limy = ∞ r+0_ →0 点 (x, y) の軌跡は次の図の 部分。 (0) y=(tana)x を求めている -2cosa / 2cosa y=-(tana)x 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点z+-が複素数平 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|=3-(2) |z−1|=|z-i| 139 2章 10 媒介変数表示

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 w=z+ a² 0でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 を満たす定数とする。 zが偏角 α の複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x,y) の軌跡を求めよ。 時で [類 京都大] 重要 26 指針偏角αの範囲が条件であるから,極形式z=r(cosa+isina) (0) を利用。 1を の形に表すことにより,x,yをそれぞれr,αで表す。 1 z + 解答 Iz=r(cosa+isina) (r>0, 0<a<- >60120 * ゆえに 0<a < 1/2 よって つなぎの文字を消去して, x, yだけの関係式を導く。 なお,00<a</ より、xの値の範囲に制限がつくことに注意。 HOOVER 練習 78 1 z+ -=r(cosa+isina)+(cosa-isina) r+ = (r++)cosa+i(r— — )sina r= cosa, y=(r1) sina x=(y+/-/- であるから r COS α x 双曲線 x ゆえに COS α r 2 x y x 1² ² = 1 +5 +²1² (cosa + sina) (cosa = 2 COS x #601 cos a x≧2cosa -=rt π <<//) とすると よって また,0から ゆえに したがって、求める軌跡は 表す図形 (2) + 4 cos² a cos a>0, sin a>0 y sin a r y sina 図 x2 したがって 4 cos² a 4sin² a ここで,y>0であるから、(相加平均) (相乗平均) により 1 + 122 √/1.7 CAGLEDEYSET =x+yi を満たす実数,αを0<a< π x cos a -(tana)x<y<(tana)x 4sin'a + sinα =2 y > 0, x COS α T y sin a y sin a 等号はx=1のとき成り立つ。 J=1 x y ->0 sin a COS Q -=1のx≧2cosα の部分 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 700円 =—-{cos(—a)+isin(—a)} ◄z+1=x+yi r38670 10. 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|3|z-1|=|z-i| 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, yが実数 全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim(r-1)=∞, lim 1 (₁ - ²) = -₁ ∞であり、 +0 sinα> 0から 17 新東線 limy=-∞, limy=8 r+0 点 (x,y) の軌跡は次の図の を求めている T2= -2cosa yay=(tana)x (1) -------- 1 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点2+ / 2cosa y=-(tana)x が複素数平 139 2章 10 媒介変数表示

(2)は三角形OABは直角二等辺三角形であると答えたら減点されますか？

1410) 243, きる 基本例題 32 三角形の形状 (2) 異なる3点O(0), A(α), B(B) に対し, 等式20²-2a+β2 = 0 が成り立つとき a (1) の値を求めよ。 (2) △OAB はどんな形の三角形か。 B 指針 (1) 20 であるから,条件式の両辺を2で割ると、今の2次方程式が得られる。 1 や arg/ の図形的な意味を考える。 ゆえに (2) (1) で求めた CHART (α, βの2次式)=0と三角形の形状問題 a B したがって 1 1 12 (2) (1) から (キ 2√2 また 解答 (1) B≠0より, B2=0であるから, 等式2²-2aB+B2=0の 両辺を2で割ると 2 (1) 20 -2- | a すなわち. = a を極形式で表し (......!), a a B −(−1)± √(−1)²—2∙1 角二等辺三角形である。 別解 等式から ゆえにB (α-³) ²=- よって π また, arg1 = から <BOA- B したがって, △OAB は∠A= OAOB=1:√2 ... ・(αβの2次式) = 0 1/1/12 1/12 (cos(土) +isin (土) (複号同順) √√2 lal_OA 1 OB √√2 1±i 26 2 +1=0 A=竹の直 (a²-2aß+8²)+a²=0 ya O 12. B(8) ・1 a-B a A(a) よって B(8) x 00 = (極形式) の形を導く 2.²-2.+1=0 解の公式を利用。 2 ◄B=√2{cos (+4) [類 岡山理科大 ] 基本 31 19 +isin(±4)}a &#193 から,点Bは, 原点を中心 だけ 回転し、原点からの距離を 2倍した点である。 として点 |=1より AB=AO の直角二等辺三 角形 と答えてもよい。 (a-B)²=-a² よって =±i B-α = ±i(純虚数)であるから,16-g|= 0-a BALOA したがって∠A=1の直角二等辺三角形 BA = OA 原点Oとは異なる3点A(α), B(B), C(y) がある。 (1) 類 大分大,(2)類 関西大] 61 1章 4 複素数と図形

偏角がargα+2kπになるのはどうしてでしょうか？教えてください。

極形式を用いて, 方程式=1 を解け。 DE COM CHART & SOLUTION 複素数の累乗 ド･モアブルの定理 MOITU [1] z=r(cos0+isine) (x>0)とおく。 [2] 方程式 z"=α の両辺を極形式で表す。 [3] 両辺の絶対値と偏角を比較する。 偏角は arga+2km とする。 ・・・・・・ [4] の絶対値と偏角の値を求める。 kは整数 日は 0≦<2πの範囲にあるものを書き上げる。 04 konk

解き方が分からないので教えてくださいm(*_ _)m

6 次の2点A(α), B(β) と原点Oが一直線上にあるとき, 実数x, yの値を求めよ。 (1) α=2−i, β=x+2i (2) α=1+3i, β=-1-yi 7 次の複素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角 0 の範囲は<OT とする。 (1) 22i (2) -3i 8 次の複素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角 0 の範囲は 0≦0 <2π とする。 (1) 3+√3i (2) - 1+i

この問題の(3)が分かりません。 教えていただくと助かります。

16 25かは正の実数とする。複素数 α=-\ 2 +i があり, lal=/2 である。ただし, iは 虚数単位である。 (1) pの値を求めよ。 また, αを極形式で表せ。 ただし, 偏角0を 0S0<2x とする。 (2) ° の値を求めよ。 また, α"が正の整数となるような最小の自然数nをkとする。 kの 値を求めよ。 alk (3)(2)のとき, 複素数平面上で la を表す点をA, を表す点をBとし, w=- Ta 1 -1 2ー する。点zが線分 AB の垂直二等分線上を動くとき,点wの描く図形を求めよ。

回答の正誤を確かめて頂きたいです。 数3 複素数平面 極形式の問題です。

cosA+isinA 3 AABCにおいて, が実数となるとき, △ABCはどのような形の三角形か。 (cosB-isinB)(cosC+isinC) C=ルー(Ax137 Cos(AtB) StuC- SulAtB) AtB= Tπ- e CosC- - (試(0sA+isuA)(cosBrismB)(cosC-23nC {(A1B)2simlA+B) (lc00c 20nc) Cos (ac-1mc(eme-2cnc ) Cosc -2Simc ) SuiC- Cos C + 25ulcosc Siu2c - 0 O<20< 270 TL C- 20 - Tπ 2 LC= 8の通角2自ら