S
of
重要例題 35 絶対値を含む1次方程式の解の個数
例題18,33
xについての方程式 ||x-3|-2|=α が異なる4つの解をもつとき,定数aの値の
範囲を求めよ。
指針 絶対値の中に絶対値があるときは, 内側の絶対値からはずす (p.52 参照)。
しかし、そのようにして絶対値をはずして解を求めても, その後の処理が
難しい。
この問題のような, 解の個数についての問題では, グラフを利用すると考
えやすい。
方程式f(x)=g(x) の実数解
⇔y=f(x), y=g(x)のグラフの共有点のx座標
であるから, y=||x-3|-2|のグラフ (折れ線になる)と直線
y=a の共有点の個数を調べることで解決できる。
ポイントは,y=αのグラフがx軸に平行な直線であること。
直線y=a を上下に動かしながら, 図の折れ線と異なる4つ
の共有点をもつようなαの値の範囲を調べる。
のとき
[2] x<3のとき
解答 与えられた方程式が異なる4つの解をもつのは,
y=||x-3|-2| のグラフと直線y=aが異なる4つの共有 2つのグラフを利用。
k
Jeb
点をもつときである。
$30x21
y=||x-3|-2|について
[1] x≧3 のとき
(i) x≧5
(ii) 3≦x<5のとき
y=l(x-3)-2|=|x-5|
y=x-5
y=−(x−5)=−x+5
=|x-1|
入れると、次のわせ
(i) 1≦x<3のとき
(ii) x < 1 のとき y=-(x-1)=-x+1
以上から, y=||x-3|-2|のグラフは右の図の
ようになる。
y=x-1
y=|-(x-3)-2|=|-x+1|||_
Styy <1-x-
$+x=y
CHOMME
このグラフと直線y=α が異なる4つの共有点
をもつようなaの値の範囲は,図から
0<a<2
ay=a
共有点の個数は
a<0のとき0個, a=0のとき2個,
0<a<2のとき4個, α = 2 のとき3個、
2<αのとき2個
HEW
見方
方をか､
|x-3|=x-3
y=||x-3|-2|
Jolastu
t=-tであるから
|−x+1|=|x-1|
BAS
1
YO
トスーヒーメ
|=||x-3|-2|
y=a
3 5
