数３積分の面積の問題なんですけど（2）で ∫［−1/2.1/2］−cos xdyと表してから xとyを調整していってはいけないのですか？この問題の解説でいうとxを置いているのですがいつも問題を解く時、何で置けば良いのか判断基準がわからなくなってしまいます。

西線x=g(y)2回 TH 基本例題 240 p.372 基本事項[3] 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 ① yelogx, y=-1, y=2e, y 軸 (2) y=-cosx (0≤x≤π), y=· 1 y=- 2 指針▷ まず,曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) y=elogxをxについて解きで積分するとよい｡ 解答 (1) y=elogx から x=ee -1≦y≦le で常に x>0 よってS=Sirdy [ect] [])=e•e²-e·e-²/² ・・・・・・ x についての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2) (1) と同じように考えても, 高校数学の範囲ではy=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 なお,(1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く 方法 でもよい。 2016-0²- (2)y=-cosx から dy=si dy=sinxdx よって S=1 いくにしてい 187 -St =1-x (そしくはしてる はん xsinxdx® ・π・ π --*cos.x]+*coxx COS X 1 1 22 YA cos xdx 2 YA πC 2e 2、 1 2 ,y軸 0 S '1 2 -ez. 2e+1 SO 3 y=-cost T 2 !e² +601 x=e π π =-g.(-2)+5}+\sinx -5 ++0-2 3 3 π 練習 240 (1) x=y2-2y-3, y=-x-1 (2) y= =1/1/14.y=1. y=1/1/ym (3) y=tanx (0≤x<7), y=√3, y=1, y del 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 重要 246 ****** π x =2e³+e² YA x=g(y) d (1) の 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) =e³-e¹-² C -Se(elogx+1)dx -[e(xlogx-x)+x] 11 (②2)の S = ²/3 + - (1/2 + 1/ ) 11 S= π. s=Sg(y)dy π 常に g(y)≥0 12 (2) の 別解 (上と同じ方法 ) - cos x+ +)dx -²x+[sinx-x Op.387 EX213 8章 38 面積

(2)のような部分積分法で解く問題の時、部分積分をせずに(解III)のような解き方をするにはどういう部分に注意したり、気づいたら解けますか？

[-1-(2) S™ ex 0 e*cosrdr l

高校生です　写真の問題の答えと過程を教えて欲しいです！

変化率は ア である。 また, これより関数f(x)のx=αにおける微分係数は f'(a) = lim ウ である。 35 関数f(x)=2x² について,次の問いに答えよ。 (1) 関数f(x) において, hが0でないとき, xがαからa+hまで変化するときのf(x)の平均 ア の解答群 0a+h ① 2a+h 2 2a + 2h (3 4a + 2h 4 2a²+2h (5) 2a² + 4h (ii) 点Qの座標は カ キ (iii) 直線の方程式はy=- (2) 放物線y=f(x) をCとし, C上に点P(α, 24 )をとる。 ただし, a>0とする。 REN 02 C上の点Pにおける接線を1とし、 直線とx軸との交点をQ, 点Qを通りに垂直な直線 をm,直線mとy軸との交点をAとする。 (i) 直線の方程式はy= I ax- オ²である。 I (v) T = √²{2x² - ( 1 ax ある｡ の解答群 0 である。 ク ケ a (iv) 三角形 APQの面積をSとすると, S= -x+ コ サ a シ + である。 最重要 a スセ レベル ★★ ⑩ 四角形OQPA の面積 ① 曲線C及び直線! によって囲まれた図形の面積 ② x軸と曲線C及び直線によって囲まれた図形の面積 ③ y 軸と曲線C及び直線によって囲まれた図形の面積 ······ である。 ax- オ d2)}dx とおく。 T が表しているものは 時間 12分 ソ a³ (3) a>0の範囲における S-Tの値について調べてみよう (1) S-T=- () S-T>0となるようなαの値の範囲はテである。 の解答群 00<a< ③0<a< √3 4 @ 0<a< ²³/ © 0<a< ³/ >0であることに注意して S-Tの増減を調べると、 ト ナ = ヌネノ S-Tはα= + √√3 2 チツ である。 ①0<a< ④0<a< で最大値 √√6 4 /6 2 をとる。 別冊解答 p. 77 1 分法と積分法 アイウエオカキクケコサシスセソ タチツテトナニヌネノ 微分法と積分法 | 143

赤い丸で囲んであるところが全くわからないです…💦

重要 例題 232 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 媒介変数tによって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 PALER CH CHART 解答 図から, 0≦t≦↑ では常に y≥0. また OLUTION 基本例題228 では,t の変化に伴ってxは常に増加 したが, この問題ではxの変化が単調でないとこ ろがある。 右の図のように、 t=0 のときの点をA, x座標が 最大となる点をB (t=to でx座標が最大になると する), t=π のときの点をCとする。 この問題では点Bを境目としてxが増加から減少 に変わり, x軸方向について見たときに曲線が往 復する区間がある｡ したがって, 曲線 AB をy, 曲線 BC を とすると, 求める面積Sは CONTO S=Synx Synx と表される。・・･・・ 2008 y=2sint-sin2t=2sint-2sintcostanial =2sint(1-cost) よって, y=0 とすると 0≦t≦x から t=0, π 次に, x = 2cost-cos 2t から dx dt -=-2sint+2sin 2t =-2sint+2(2sintcost) =2sint(2cost-1) 0 <t<π において 1 FAVO dx - = 0 とすると, sint> 0 から dt 「 cost=- ゆえに π t=₁ よって、xの値の増減は右の表のようになる。 sint = 0 または cost=1+sajest 15 0<a Fachs C In t dx dt x よって,xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式 を立てる。また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からの積分に直 して計算するとよい｡ -3 t= を求めている。 y2 0 0 1 0000 y₁ 13 S 曲線が往復 している区間 (小 ... yA + 0 Hinf. 0≦t≦π のとき sint≧0,cost≦1 から y=2sint(1-cost) 20 としても,y≧0 がわかる。 0 A 1 t=0+ π 3 0 3 2 基本 228 *** •B TI [] t=to π 0 -3 ゆえに, osts におけるy をyi, sts におけるyを X=- 20030-caso =2-1 [ ] とすると, 求める面積Sは s=S²¸y=dx−Svidx ここで、0≦ osts において、 x=1のとき t=0, であるから また、において x=2のとき 一 であるから よって 3 x= のとき S² vidx=Sy dx ここで dt dt x=3のときt=" S²¸yzdx=Syddt t=7 s-Syndx-S² vndx-Syddi - Sydd dt dx -Sidedt + Sy dr dt-Sydx dt =S(2sint-sin2t)(−2sint+2sin2t)dt = S-2s -2sin22t+6sin2tsint-4sin't)dt =2f (sin2t-3sin2tsint+2sint)dt 4t sin 2t dt-S¹-cost dt-t-sin 4- ・dt=- 2 (3sin2tsintdt-3" 2 sint cost-sintdt EES S2 sintdt=2^1-69824dt=[1-1/2 sin24] 月 sin'tdt=2f"1-cos2tat=| =1 S= = -65 sint cost dt = 65" sinºt(sint)dt = 6-sin't] =0 =6 Y -3 注意 と は,xの式と しては異なるから |Sydx-vidx=S_¸ydx としてはいけない。 一方の式としては同じ y=2sint-sin2t) で表さ れる。 355 Sf(x) dx = -f(x) dx Sf(x) dx + f(x) dx -Sof(x)dx ← S₁ƒ (x) dx = -S₁ƒ (x) dx 1-cos 20 2 inf. 積和の公式から 3sin2tsintdt sin'0= ---√ (cos (cos 3t-cost)dt -sin 3t- =0 したがってS203 としてもよい。 [inf. この例題の曲線は, カージオイドの一部分である(p.103 補足参照)。 Tri y PRACTICE・・・･ 232 ④ 媒介変数tによって, x=2t+t, y=t+212 (-2≦t≦0) と表される曲線と, y軸で 囲まれた図形の面積Sを求めよ。 ds de 8章 25 20

427も428も(1)は解けたんですけど(2)が意味不明です。教えてください。　解説で言うと1行目からなんでそんなことをしているのかがわかりません。

③427 a>0とする。 関数f(x)=x-3aåx (0≦x≦1) について,次の問いに答 [2/2 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。 7 ( *428 a>0とする。 関数 f(x)=x-3x²+2(0≦x≦α) について,次の問い よ。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

積分についてです。 接戦の傾きの式を積分すれば元の曲線の式が出てくるのは理解出来るのですが、なぜ定数Cを付けなければいかないのかが分かりません。何のためにあるのか教えてください😭

_2 第7章 積分法 例題 231 曲線の決定 COXSAN 曲線 y=f(x) は点 (1,-3) を通り, その曲線上の任意の点(x,y) に おける接線の傾きは 3x2+6x-9 に等しいという. この曲線の方程式を B #CO 求めよ. 考え方 曲線 y=f(x) 上の点(x,y) における接線の傾きはf'(x)より, 解答 f'(x)=3x2+6x-9 となることと, 曲線が点 (1, -3) を通ることを利用する. f'(x)=3x2+6x-9 より 接線の傾きは f'(x) f(x)=f(x)dx =S(3x²+6x-9)dx =x3+3x2-9x + C (C は積分定数) 曲線 y=f(x) は点 (1,-3) を通るから, したがって 13 +3・1²-9・1+C = -3 より C = 2 よって、求める曲線の方程式は, y=x²+3x2-9x+2 f(1)=-3 Cを忘れずに. y=f(x) に x=1, y=-3 を代 入する.

この2つの置換積分法の違いがよく分からないです💦 これは置換積分法を使う問題だと見分ける方法と、何をtやuで置いたらいいのかを見極める方法を教えて欲しいです！

置換積分法 I 1 Sf(x) dx=ff(g(t)) g'(t) dt ただし, x=g(t)

四角の中の計算の仕方を教えて欲しいです🙇‍♀️

=10√2-8- -8-2{/23 (3-1)²-² (2-1)²} 4√2 2 3 3 =10√2-8-2 6 7. - 20 ???

（5）で僕はx^2+1=tと置換して解いたのですが、答えが合いません。 どこが間違っているのかを教えて頂けると幸いです

412 次の定積分を求めよ。 ただし, aは正の定数とする。 S√2x-x² dx (2) S/² dx 1 √2x-x² dx (4) S₁x²–2x+2 *(7) Site- (2-x2)2 x²)² dx *(5)) S√² 2x+1 1 +1 a (8) S/35 dx dx (a²-x²) ²/ dx 7 (3) S-₁ (x + 1)/² + 1/ * (6) dx (x² + a²)² S. Hot 章 積分法 Je

解き方が分かりません。 教えてください！

積分法 ●●○○ 77 ™ A 問題 292 整式で表される関数f(x) において,次の極限値をf(5),f'(5) で表せ。 lim 5f(x)-xf (5) x→5 x-5 [類 06 東京薬大]