例題13
特殊な3次式の因数分解
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(1)+6=(a+b)-3ab(a+b)
を因数分解せよ.
を利用して, α+b+c-3abc
第1章
(ア)x+y+3xy-1
(1) (x-y)+(y-z)³+(2-x)³
(1)の結果を利用して,次の式を因数分解せよ.
考え方 (2) (1)の結果を利用するので, '+□+△3-3○□△の形になっているか式を見極め
る。 (ア)は,○=x, □=y, △=-1 とすると,-3○□△=-3×xxyx(-1)=3xy
となる.
解答 (1)+b+c-3abc
=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
={(a+b)+c3}-3ab(a+b)-3abc
=(a+b+c){(a+b)2-(a+b)c+c2}
-3ab(a+b+c)
=(a+b+c){ (a+b)2-(a+b)c+c2-3ab}
=(a+b+c)(a²+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)
=(a+b+c)(a²+b2+c-ab-be-ca)
(2)(x+y+3xy-1
=x³+y³+(−1)³-3xy(-1)
a+b=A とすると,
A³+c³
=(A+c)(A2-Ac+c2)
(a+b+c) が共通因数
輪環の順
(1) において,
a→x, b→y,
c-1
の場合である.
=(x+y-1){x2+y2+(-1)2
-xy-y(-1)-(-1)x}
=(x+y-1)(x2+y2-xy+x+y+1)
(イ) x-y=a,y-z=b, z-x=c とおくと,
a+b+c=(x-y)+(y-z)+(z-x) =0より。
(x-y)+(y-z)+(z-x)3
='+b+c3
(1)の結果から
=(a+b+c)(a+b2+c-ab-bc-ca)+3abc-3abc を移項する.
=3abc
a+b+c=0
もとに戻す。
=3(x-y) (y-z)(z-x)
Focus
a+b+c-3abc= (a+b+c)(a²+b+c-ab-bc-ca)
の形を見抜け
