数列の問題で、こういう第K項を求める時ってどうやって求めてるんですか？

こう 練習問題 7 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ. 1 1 13 1・4' 4・7' 7・10' 10・13' 部分分数分解をすることで 精講 がで f(k)-f(k+1) または f(k+1)-f(k) が、 という形をつくることがポイントになります. 5%, 解答 数列の第ん項は 1 = 3 L&&(3k-2) (3k+1) 3 3k-2 3k+1 よって 部分分数分解 とな 1 1 ......+ (*) 303 合う 1 14+ 4-7 +7-10 1・4 (3n-2)(3n+1) 1/1(1-1)+/1/2(1-1)+/1/3(11/10) 4 7 1 33n-2 3n+1 1 +......+ 10 3n-2 3n+1 1/(1)+(米)+(-1) 1 (3n+1)-1_ n 1 . 3n+1 3 3n+1 コメント 分が と 3n+1 (*)の部分分数分解をするときは、ひとまず下のような差の形を作り,それ を計算してみます。にとりきり (1++ 1_ (3k+1)-(3k-2) = 3k-2 3k+1 (3k-2)(3k+1) 分子が3になった (3k-2)(3k+1) 分子が3になるので,これを打ち消すために両辺を3で割れば(*)の式が得 られます。このように、部分分数分解は 「とりあえず差の形を作ってみて, そ これが元の式に戻るように帳尻を合わせる」 という考え方をするとうまくいくこ とが多いです。

この問題の最初の順序を変えて計算するところ？なのですが、自分は2枚目のようにやっていてこの無限級数の部分和は収束するからこのようにしても大丈夫ですよね？

ス題追 解 42 62 基本 例題 31 2つの無限等比級数の和 000000 無限級数(1-1/2)+(1/3-2/23)+(238-2123 ) +の和を求めよ。 の p.54 基本事項 4 基本26 CHART & SOLUTION 無限級数 まず部分和 S. 無限級数 部分和を求めてんを無限大にする この数列の各項は()でくくられた部分である。 部分和Sは有限であるから,項の順序 を変えて和を求めてよい。 [注意] 無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない(重要例題 32 参照)。 別解 無限級数 20m, 26m がともに収束するとき 無限のときは順序をかえると 8 an, n=1 00 00 an Σbn が成り立つことを利用。 n=1 計算がおかしくなることが あるからい n=1 n=1 初項から第n項までの部分和を Sn とすると 解答 Sn=(1+1/+1/3+ …………+ 32 3)-(1/2/+/2/2+ 1-(/) 1/12-(2/7)_ 3 = 1- 32 1 トレス + 2" lim S-21021-1-12 であるから,求める和は 1/2 Sn= = 1-∞ 別解 00 n=1 (1-1/2)+(1/3-2/23)+(328-12/31) + IM8 1-1 3- n=1 2 gly は初項 1. 公比 1/3の無限等比級数であり、 3n-1 配る。 2121は初項 1/12. 公比 1/2の無限等比級数である。 公比について 1.21 であるから,これらの無 限級数はともに収束して,それぞれの和は 1 Sは有限個の和である から,左のように順序を 変えて計算してもよい。 つくのである。 Shを求めでしょ inf. n→∞のとき <-0. →0 無限等比級数の収束条件は a=0 または |r|<1 このときは a 1-r ◆収束を確認する。

⑤から全然わからないです。解き方を教えて欲しいです。

[II] mを7で割ったときの余りが5となる整数とする。 kを自然数とするとき,次 の をうめよ。 ただし、 た, 12 9とする。 と 以外は数値でうめ、ま mkを7で割ったときの商を余りをak とおくと, m²=7gn+an (0≦x≦) ① である。 さらに, k+ は と表されることから, 1) = 5, a2= xakを7で割ったときの余りに等しいことがわかる。 これを繰り返 して, a,a2, a3 ***** を計算することができる。 ak = となる1より大きい自然数んの中で最小のものを!とおくと, l である。 数列{4}の初項から第n項までの和をS とすると, n Se-」の値は であり, Spa をnの式で表すとSen である。 2 さらに, Sex をl進法で表すと 桁であり, 桁目の数字は ⑦ である。

⑵のやり方教えてほしいです

15 <2024 等差数列{am}があり, a1=-11,α7-αs = 8 を満たしている。また、数列{bm}があり, その初項から第n項までの和をS. とすると, S=1/2n+2(-1)*-1} (n=1, 2, 3, …) を満たしている。 (1) 数列{an} の公差を求めよ。 また, 一般項 am を求めよ。 (2) 61 を求めよ。 また、数列{bm)の一般項 bm を求めよ。

S 2nとS２n−1の意味がわかりません

項 ポイント 2 Σanrn anim (an は等差数列 n=1 部分和 Sn は,Sn-rS を計算して求める。 平 1 1 28 無限級数 1+1+ + 1_…………… の部分和を 2 3 8 Sn とするとき, lim S2n, lim S27-1 を求め, 無限級数の収束, 発 n→∞ n→∞ 散を調べよ。 収束するときはその和を求めよ。 ポイント③ a+b+a+b+α+...... 部分和 S が1つの式で表せないときは, S2n, S2n-1 などを求め て,両者の極限が一致するかどうかを調べる。 一致する → 収束 一致しない — 発散 数の和の性質 8 数で、24n=S, 26m=Tとするとき、無限級数

257番無限級数がわかりません 問題文の意味からわからないので解説お願いします

□ くった級数の和よりも1だけ大きく,各項を2乗し 257 無限等比級数がある。 その和は偶数番目の項だけ取り出してつ て ③ つくった級 ? 数の和はもとの級数の和の半分である。 もとの級数の和を求めよ。

〇が着いている最後のnがnの二乗にならないのは何故ですか

よって an+1=jant 1/30 ゆえに an+1=a+2 これを変形して a+-1=(-1) よって、 数列{a} の階差数列の第n項は 2n また a₁-1=-1=- 2 問題で使う したがって, n≧2のとき 3 3 n-1 ゆえに、数列{an - 1} は初項 2 a=a₁+2k=2+2(n k=1 9 3 公比 1/3の等 =n2n+2 ......① 比数列で a-1=- 2/2\n-1 33 a1=2であるから, ①はn=1のとき 立つ。 2n したがって an=- よって +1 an=n2_n+2 3 255 点Pがn+1秒後に頂点に 253 正方形 P" の1辺 の長さをαとし, 図 のように C, C+1, 角度 C+ 1 Dをとると a, P. an+1 n で割 CmDn=an-anti DnCn+1=an+1) P+1 n秒後に頂点 0, B, C のいずれか 1秒後に頂点Aに移動する場合で 点Pが秒後に頂点 O, B, C る確率は Pn+1=- ---P 1-Pn よって こうやって △ABC C D C であるから 1 これを変形して Pn+1- ABC,D=BC: D, C+1 すなわち 4:(anan+1)=6:4+1 また - 4 3 よって よって、 数列 第 n また, 4:(4-0)=6:α」から a1=5 i=1/2 ゆえに、数列 (a)は初項 12. 公比23 の等比数 の等比数列で-1 したがって,=2202 12/3] [1 = したがって 160 25 L

90の⑴なんで左辺1になるんですか？

0 +2-6an+1+5a"= +2an+1=5 (@z+1-an) az_a1=(2a+b1) -a1=a+b1=8 5/ an+2 20円+1=3a,+4(an+1-20m) この漸化式を利用して, am を求めてもよい。 (2) an+2+50円+1 +60=0を変形すると ゆえに よって an+2+2ax+1=-3(an+1+20m) ① また an+2+3an+1=-2(an+1+30m) ...... ② ① から, 数列 {an+1+20m)は初項a2+2a1=1, 公比-3の等比数列で an+1+2a„= (-3)"-1 ③ ②から、数列{n+1+30円)は初項a2+3ay=1, 公比2の等比数列で @n+1+30„= (-2)"-1 ...... ④ ③から an=(-2)"-1-(-3)"-1 an+2-6an+1+90=0を変形すると ゆえに、数列{an+1-2)は初項 8 公比5の等 比数列で an+1-a=85"-1 数列{an}の階差数列の第n項が 8.5"-1であるか ら、n≧2のとき -1 an=a+28.5-1=2+ よって a=2.5"-1 8(5"-1-1) 5-1 ..... 3 ③でn=1 とするとα=2が得られるから は n=1のときにも成り立つ。 bn=an+1-2an =2.5"-2.2.5"-1=6.5-1 (3) また an+2-3am+1=3 (am+1-3am) 数列{n+1-30m}は初項a2-3a1=1 公比3の 等比数列で an+1-30=3-1 + 88 90 (1) 1+10 + 102 +... + 10″ - 1 =1/08 (101) 両辺を 3 +1で割ると an+1 an 1 3*+1 3" 9 とする。 an 数列 3n は初項 3 ar 1 1 公差 の等差数列 [1] n=1のとき 3 , 左辺 = 1, = (10−1)=1 で よって an 1 3=+ +(n-1)/1=(n+2) 3" an=(n+2)・3”-2 (1) a2=2a1+b1 = 10, b2=3a1+4b1=30, 43=2a2+b2=50, b3=3a2+462=150 n+1=24n+6n ① +1=3a+46m ②から 1-9 an+1+bn+1=5(a+b) a+b1=8 二、数列{an+6m}は初項 8,公比5の等比 ③ 34+1-bn+1=34-bn T an+6=8.5"-1 -② から 3a-b„=3a-b1=0 3a,-b=0 ○から 4a,-8.5"-1 よって, n=1のとき, ① は成り立つ。 [2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち 1 + 10 + 10° + . +10k-1 = 11/8(10^-1) と い と仮定する。 n=k+1 のとき, ① の左辺につ いて考えると,②から § 1+10+102+. = (10-1)+10* +10k-1 + 10k = (10-1+9-10) = (10k+1−1) よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は 成り立つ。 (2) 13+25 +3.7 + ・・・・・ +m(2n+1) a=2.5"-1 ④から 6=34=6.5-1 =oon(n+1)(4n+5) ① とする。 [1] n=1のとき の解法でも {a}{bm)の一般項を求める 左辺 = 1.33 8 きる。 右辺 = 12・1・(1+1)-(4-1+5)=3

蛍光ペン引いてる所の説明がほんとに何を言いたいのかわかりません どういうことですか？ これが分からないのでこれ以降何をしているのかわかりません

IC 漸化式の応用 Link 応用 例題 イメージ 6 5 解 平面上に2本の直線があって、それらのどの2本も平行でなく, また,どの3本も1点で交わらないとする。 これらη本の直 線が,平面を an個の部分に分けるとき, annの式で表せ。 1本の直線で, 平面は2つの部分に分けられるからα=2 次に, n本の直線により, 平面が an個の部分に分けられていると き (n+1)本目の直線 l を引くと, lは既にある n本の直線とn個 3 10 の点で交わり, これらの交点に よって, l は (n-1) 個の線分と2 個の半直線に分けられる。 4 2 15 練習 第1章 数列 これらの線分と半直線は,それぞれ, それが含まれる各平面 の部分を2つに分けるから, 直線 l を引くことにより,平面 の部分が (n+1) 個増加する。 よって an+1=an+(n+1) すなわち an+1-an=n+1 数列 {an} の階差数列の第n項がn+1であるから, n-1 n≧2のとき an=a+(k+1)=2+1/2(n-1)n+(n-1) an よって == 1 -(n2+n+2) 2 ① ① で n=1 とすると α = 2 が得られるから, 1 は n=1のと きにも成り立つ。 したがって, 求める式は an = (n²+n+2) 2 n本の直線によって, 交点はいくつできるか。

(1)が分かりません。 ①n≧2のときって、法則性が分からない階差数列の時に使うんじゃないんですか？ ②sn−1って何処から来たんですか？

544 基本 例題 107 数列の和と一般項,部分数列 0000 初項から第n項までの和 SnがSn=2n-nとなる数列{an}について (2) 和 a1+a3+as+....+azn-1 を求めよ。 (1)一般項 an を求めよ。 538 基本事項 4 基本 n≧2のとき 指針▷ (1) 初項から第n項までの和 Sn と一般項 α の関係は ....+an-1+an Sm=artazt.. .....+an-1 - Sn-1=artaz+.. an ゆえに Sn-Sn-1= an=Sh n=1のとき a1=S1 解答 数列の和 Sn がnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項 まず一般項(第ん項) をんの式で表す 第ん項 る。 (2) 数列の和→ 第1項,第2項,第3項, a1, a3, a5, a2k-1 であるから,an に n=2k-1を代入して第ん項の式を求める。 なお,数列 a1, A3, 45, … 2-1 のように,数列{az}からいくつかの項を できる数列を, {a}の部分数列という。 (1) ≧2のとき 121112 an=S-S-1= (2n²-n){2(n-1)-(n-1)} =4n-3 ① また a=S=2.12-1=1 ここで, ① において n=1 とすると α=4・1-3=1 よって, n=1のときにも①は成り立つ。 したがって an=4n-3 (2) (1)より, a2k」=4(2k-1)-3=8k-7であるから -242-1=2(8k-7) a+α+α+....+α2n-1=2a2k-1=2(8k-7) k=1 k=1 =8/12n(n+1)-7n=n(4n-3) Sn=2n²-n Sn-1-2(n-1) 特別 ann≧1 される。 a2k-1 はan= てぃに2k 12k, 21の