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ーる点をそれ
る点をRと
証明せよ。
基本63
舐めて
基本例題
→垂線の足のさひつかったら
65 垂線の足、縁対称な点の座標
685
2点A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) を通る直線を l とする。
00000
点C(2,3,3)から直線 l に下ろした垂線の足の座標を求めよ。
直線 l に関して,点Cと対称な点D の座標を求めよ!品の成分
筋の成分
点□は直線AB上⇔A□=kABとなる実数がある。
指針
(1)AH=kA (kは実数) から CH を成分で表し,ABICH
垂直 (内積) = 0
基本63
C
l
を利用する。
して (表現を
H
注意点Cから直線 l に下ろした垂線の足とは,下ろした
垂線と直線lとの交点のこと。
A B
(2) 線分 CD の中点が点Hであることに注目し, (1) の結果を利用する。
は1次独立。
=2:1
数んがある。
=2:1
解答
よって
(1)点H は直線 AB 上にあるから20
CH=CA+AH=CA+kAB
=(-5,-4,-2)+k(2, 1, -1)
AH=AB となる実
D
交点とも考えられる
①何と何の交点かそ
みる
②2つの直線から
しずつ条件を
ぬきだす
CA=(-5, -4, -2)
AB=(2, 1, -1)
=(2k-5, k-4, -k-2)
(*)
2
2章
位置ベクトル、ベクトルと図形
=1:2
ABDE
る。
OH=OC+CH=(2,3, 3)+(-1,-2, -4)
S=(1, 1, -1)
したがって,点Hの座標は (1, 1, -1)
ABCH より AB・CH=Q であるから
②
2(2k-5)+(k-4)-(-k-2)=0
ゆえに k=2 このとき 0 を原点とすると
(2) OD=OC+CD=OC+2CH
6k-12=0
<k=2を(*)に代入して
CHを求める。
OD=OH+HD
=(2,3, 3)+2(-1,-2, -4)=(0, -1, -5)
=OH+CH
したがって, 点Dの座標は
(0,-1,-5)
から求めてもよい。
正射影ベクトルの利用
検討
(1)は,正射影ベクトル (p.631 参照)を用いて,次のように解くこともできる。
AB=(2, 1, -1), AC = 5, 4, 2) であるから
F
<AC・AB=5×2+4×1+2×(-1)=12
AB=22+12+(-1)²=6
C
ABI²
AH-AC-AB AB-12 AB-2AB
ゆえに
JB
よって, 点Hの座標は
OH=OA+AH=OA+2AB
=(-3, -1, 1)+2(2, 1, -1)=(1, 1, -1)
(1, 1, -1)
練習 2点A(1,3, 0), B(0, 4, -1) を通る直線を l とする。
A)から直線!に下ろした垂線の足の
H
A B
ACAB
AB
|AB|2
