重要 例題
30 漸化式と極限 (5) ・・・ はさみうちの原理
平
づ
<a<3を証明せよ。
26
(3) 数列{an} の極限値を求めよ。
00000
数列{an}が0 <a<3, an+1=1+1+αn (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき
[類 神戸大]
/13-1/12 (3-0)を証明せよ。
/p.34 基本事項 3. 基本 21
指針
(1) すべての自然数nについての成立を示す
数学的帰納法の利用。
(2) (1) の結果, すなわち an >0, 3-ax>0であることを利用。
(3) 漸化式を変形して,一般項 αをnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で示した
不等式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-αn の極限を求める。
はさみうちの原理 すべてのnについて pn San≦gn のとき
limplimgn=αならば
liman=a
710
818
2章 ③数列の極限
なお, p.54, 55 の補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
(1) 0<an<3
解答
① とする。
811
Famil
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
0<a<3
=k+1のときを考えると,0<a<3であるから
ak+1=1+√1+ak >2> 0
+1+3=3
したがって
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
0<ak+1/30
数学的帰納法による。
<0<a<3
<<ak から√1+α > 1
<a<3から1+αk <2
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
<
(2)3-αn+1=2-√1+an
3-an (3-an)
2+√1+an
(3)(1),(2) から, n≧2のとき
liml
n10
0<3-an()(3-as)
(1/2) (3-a1)=0であるか
3
lim(3-an)=0
liman=3
したがって
200
<3-a>0であり,an>0
から 2+√1+α >3
n≧2 のとき,(2)から
3-an< (3-an-1)
(12/2)(3
an-
<(1/2)(3-4)
モン
練習
α=2, n≧2のときα
an-1
1-12 を満たす数列{an) について
30
