例題
65
3次方程式の解と係数の関係(1)
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3次方程式 2x3x2+4x-5=0 の解をα, B, yとするとき、次の値
を求めよ.
(1)
2+2+y
(2)°+°+3
(3)2(1-α) (1-β) (1-y)
「考え方 3次方程式の解と係数の関係を利用する.a2+2+2++y"は対称式であるの
で,これを基本対称式α+B+y, aβ+By+ya, aBy で表すことを考える。
解答
3次方程式の解と係数の関係より、
a+B+y=1/23aB+By+ya=1/2=2aBy=1/27
5
=-
(1) a2+B'+y2=(a+β+y)-2(aβ+By+ya) (1)+(a+b+c)2
=(2-2-2-
7
4
=(a+β+y)(a2+B'+y-aB-By-ya)+3aBy
=a+b2+c2
+2ab+2bc+2ca
(2)°+°+y^
a+b+c-3abc
16 = (a+b+c)
=(-14-2}+3.
5
3
15 15 15
-=
22
x(a²+b²+c²
e-ab-be-ca)
(別解)
α, β, y は 2x-3x²+4x-5=0の解だから,
a2+B'+y2の値は
20-30°+4a-5=0 より,
3
5
(1)の結果を利用する
a²=a²-2a+
2β-38°+4β-5=0 より B=228-23+2
5
2-3y'+4y-5=0 より
¥38
5
==-2x+2
2
よって, a³+ß³+ y³±³½³² (α² +ß²+ y²)-2(a+B+ y) +3.2
5
3.(-)-2
3 15 15
+
20 2
8
(3) 2x-3x2+4x-5=2(x-a)(x-β)(x-y)
+
-00-0 (8) これに, x=1 を代入して
12.13-3.12+4.1-5=2(1-
よって,
a)(1-8) (1-7) -
2(1-α) (1-β) (1-y) =-2
α, B, yは与えられ
た3次方程式の解』
り, 因数分解できる
展開して解と係数の
関係を用いてもよい
Focus
5.記を!
3次方程式 ax+bx+cx+d=0(aキ0) の3つの解をα, B,
y とすると.
b
α+β+y=
a
d
as+By+ra=caBy=-
X-f=q+m)-E==++
a
