-
![]()
121
3項間の漸化式(1)
特性方程式の解α βがαβとなる場合
527
p.525 基本事項
例題
重要 131
00000
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
[1] =1, a2=2, an+2+4an+1-5a=0
aya=0, a2=1, an+2=an+1+6an
解答
まずα+2 を x2 +1 を x, αを1とおいたxの2次方程式 (特性方程式) を解く。 その
2解をα,β とすると.αBのとき
anti-aan+=(a+1-aan), an+z-Ban+1=a(an+1-Ban)
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
(1) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含むから, 漸化式は
A
anan+1=-5 (anti-α) と変形され,階差数列を利用することで解決。……………
(2)特性方程式の解はx=3,-2→解に1を含まないから、 A を用いて2通りに表
し、等比数列{an+1-3an}, {an+1 +2an} を考える。
(1) 漸化式を変形すると
an+2-Q+1=-5(+)-αn)
3章
16
種々の漸化式
ゆえに、数列{an+1-an}は初項α2-41=2-1=1, 公比-5
の等比数列であるから an+1-an=(-5)"-1
よって, n≧2のとき
n-1
=(-5)=1+1・{1-(-5)"-'}
k=1
(7-(-5)"}
1-(-5)
n=1のとき, 1/12(7-(-5))=1であるから,これは成り立つ。
したがって a={7-(-5)"}
(2) 漸化式を変形すると
an+2-30n+1=2 (αn+1-34m)
an+2+2+1=3(ants+2az)
①.
②
①より、数列{an+1-30円)は初項 ≪2-341=1,公比 -2の等
比数列であるから an+1-3an=(-2) -1.
③
②より、数列{an+1 +2a)は初項a2+2a1= 1. 公比3の等比
数列であるから
an+1+2an=3-1
④③から
5an 3-1-(-2)-1
<x2+4x-5=0を解くと.
(x-1)(x+5)=0から
x=1-5
別 (1) 漸化式を変形して
an+2+50円+1=4n+1+5am
よって +1 +5
=an+5an-1
=a2+50=7
α+1+5=7 を変形して
An+1-
よって
7
6
a = (7-(-5)"}
an=
x=x+6 を解くと.
(x-3)(x+2)=0 から
x=3,-2
α=3,β=-2として指針
のを利用。
+を消去
したがって
a={3-1-(-2)"}
次の条件によって定められる数列{az} の一般項を求めよ。
21 (1) a₁=0. a₂=1, 5an+2=3an+1+2an
(2) a1=1, a2=2.4 2-24n+1-34万= 0
〔(2) 類 立教大]
