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対数微分法の利点と不等式の証明
探究例題 5 不等式の証明での工夫
次の問題について,太郎さんと花子さんと次郎さんが話している。
問題: eを自然対数の底, すなわち e = lim1+
817
+1)
とする。すべての正の
実数xに対し、不等式(1+1)*
<e が成り立つことを示せ。
(東京大改)
太郎: (右辺) - (左辺)=f(x) とおいて,微分すれば簡単そうだよ。
x
f(x)=e-(1+1/2) とおくと, f(x) =･･･あれ?
x
...
花子:(1+1/2) はそのままだと微分できないね。(関数) (M) のような形を微分する
ときは、対数微分法を利用したよね。
太郎:なるほど。f(x)=e-(1+1/2) 2
の両辺の対数をとればよいかな。
次郎 : それだと, 対数微分法はうまくできないよ。 そもそも, lim 1+
x
1
817
=eより、
x→∞としたとき1+-
の極限値はeとなるから,(1+1/2)がエン
XC
で単調増加することを示すことができればよいよね。
(次郎さんの解答)
g(x) = 1+ +12) とおくと,x>0より g(x)>0であるから両辺の対数をと
ると
x
logg(x)=log(1+1/2) ⇔logg(x) = x{log(x+1)-logx}
両辺をxで微分すると ... (A)
花子:対数をとるとよいということだね。 与えられた不等式を、対数をとって変形
してから考えるとどうなるかな。
(花子さんの解答〕
x>0より (1+1)>0であるから,(1+2) <e の両辺の対数をとると
⇔log(x+1)-logx- <0 ..①
10g(1+1/2)
<1⇔x{log(x+1)-logx} <1 D
(0 <) 18ol
x
20
与えられた不等式と同値である① を示す。
①の左辺をm(x) とおいて, m(x) を xで微分すると
(B)
(1) (A)に続くように,問題を解け。
(2) (B)に続くように,問題を解け。
(
