基礎問
167 空間ベクトルにおける幾何の活用
を頂点とする正四面体を考える.ただし,620, C3>0 とする。
座標空間内で, 原点O, A(2, 0, 0),B(b1, 62, 0), C(C1, C2 C3
(1) 61, 62, C1, C2, C3 を求めよ.
(2) OABC を示せ.
(3)Pは直線BC上の点で, OP⊥BC をみたしている。Pの座
精講
標を求めよ.
(1) 5 変数ですから式を5つ作ればよいのですが,5文字の連立方
程式が厳しいことが予想できます。
そこで,正四面体という特殊性を利用して行けるところまで幾何
で押します.
(2) OA・BC=0 を示します. (151)
(3) 正四面体の側面はすべて正三角形だから,Pは辺BCの中点になっていま
す。
解答
(1) 辺 OA の中点をMとすると, OAB は正三
角形だから, BM⊥OA
OM=1 より, b=1
BM=√3,620 より b2=√3
次に,△OAB の重心をGとおくと,
G(1, 3, 0)
四面体 OABC は正四面体だから, CG⊥平面 OAB
YA
:.c,=b=1,c2=GM=13
B
b2
3
また、三平方の定理と C3 >0より
C3=CG=√CM2-MG2=√BM-MG2
√√√32
=
8_2√6
3
=
•G
bin
M
A
3
B
