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思考プロセス
t>0 とする。 放物線 C:y=x2 上の点P(t, t2) における法線を1とする。
法線と放物線 C で囲まれる部分の面積Sの最小値とそのときのtの値を
求めよ。
Thm.3(3次関数)
⑥
y = ax+b+c+d
6
法線･･･ 点P を通り, 点PにおけるCの接線に垂直な直線。
面積Sは
公式の利用
の構図
⑨3次関数
11
《QAction 放物線と直線で囲む面積は,S(x-a)(x-B)dx=-1/2(B-α)を用いよ
IとCの共有点のx座標 α, βを求める。
⇒ α, β のうち1つは点Pのx座標であることに注意する。
解 y = 2x より 法線lの方程式は
例題 244
Thm, 2 接線と放物線)
④l, y=ax+bxtCl2
S = la (B-x)³
例題
208
1
y-t² =
=-
-(x-t)
2t
1
よって
y =
-x+t² +⋅
2t
2
法線と放物線Cの共有点のx
座標は
=
x+
-12-
2t
-t-
2t
<S(t))
P
O t
x
I
1点P(t, f(t)) における
法線の方程式は
| y − f(t) = − -(x- -t)
1
f'(t)
2+1/x-(1+1/2)=0より
2t
(x-1){x+
(x−t) { x + (1 + 2/1 ) } = 0
2t
IとCは点Pで交わるか
この方程式は x = t
を解にもつ
1
よって x=t, -t-
2t
244
例題ゆえに
S=
{(·
1
-x+
t² +
x² dx
2t
=
- L 1 ( x
例題
68
t-
− t) { x + ( t + 2 ) } d
1
3
2t
x
3
= 1½ { t − (− 1 − 2)}² = 1 ½ (21+ 2+ ) ³
t
2t
2t
t0 であるから, 相加平均と相乗平均の関係より
s= 2t+
2t
2t
3
M
5 = 1½ (2² + 1 ) = 1 - (2√2 · 117 ) = 1/3
2/2t⚫
6
1
これは 2t = すなわちt=
2t
のとき等号成立。
2
したがって, Sは
t =1のとき
最小値
L(x-a)(x-B)dx
— — -(ẞ-a)³
ReAction 例題 68
k
「X+ (X> 0) の最小
X
値は, (相加平均) ≧ (相乗
平均) を利用せよ」
