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100
Z
を表す。
-Cr
それぞれ何
練習
34
5桁の整数nにおいて, 万の位, の, 百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ,b,c,
de とするとき, 次の条件を満たす nは何個あるか。
(1)a>b>c>d>e
(1) 0, 1, 2,
(2) a≧b≧c≧dze
(3) a+b+c+d+es6
9の10個の数字から異なる5個を選び、大き←a>b>c>>から、
い順にα, b, c, d, e とすると, 条件を満たす整数nが1つ定 α0 となる。
まるから
(2) 0, 1, 2,
10C5252 (個)
10個から5個を選ぶ
9 の 10 個の数字から重複を許して5個を選び,
のが大きいから
大きい順に a, b, c, d, e とすると, a≧b≧c≧d≧e≧0を満た◯5個と | 9個の順列
a=b=c=d=e= 0 の場合は5桁の整数にならないから, 求め
す整数a, b, c,d, e の組を作ることができる。このうち、
る整数nの数は
10H5-1=10+5-1C5-1=14C5-1=2002-1=2001 (個)
(3)A=a-1 とおくと, a≧1 であるから
また,a=A+1であるから,条件の式は
A≥0
を利用して, 14Cs-1と
してもよい
←a0 に注意。 αだけ
1以上では扱いにくい
から おき換えを行う。
000
=2,6=1,
(A+1)+b+c+d+e≦6
意味する。
よって
A+b+c+d+e≦5
ここで, f=5-(A+b+c+d+e) とおくと, f≧0 で
A+b+c+d+e+f=5 ・・・ ①
求める整数nの個数は, ① を満たす0以上の整数の組
(A, b,c,d,e, f) の個数に等しい。合巣の主
庫
ゆえに、異なる6個のものから5個取る重複組合せの総数を考
←A+b+c+d+e=k
(k=0,1,2,3,4,5) と
して考え 5Ho+5Hi
+5H2+5H3+5H4+5H5
=4Co+5C1+6C2+,Ca
+8C4+9C5
えて
6H5=6+5-1C5=10C5252 (個)
252 (個) でもよい。
”あって
後から
別解 まず, a≧0として考える。
3
50
3,
る。
f=6-(a+b+c+d+e) とおくと, 2018
a+b+c+d+e+f=6
これを満たす0以上の整数の組 (a,b,c,d,e,f)は
(T
6H6=66-1C6=11C6=11Cs=462 (個)
また, α=0 のとき, 条件の式は (b+c+d+e≦
g=6-(b+c+d+e) とおくと, g≧0でb+c+d+e+g=6
これを満たす0以上の整数の組 (b, c, d, e, g) はJin (T
5H6=5+6-1C6=10C6=10C1=210(個)
よって、求める整数nの個数は
←αが0以上の場合から
αが0の場合を除く方針。
462-210-252 (1) se
