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実戦問題 10 軸が変化する2次関数の最大・最小
αを定数とする。 2次関数 f(x) = x +2ax+3α² 4 の区間 0≦x≦4 における最大値を M, 最小値を とする。
(1)a=1のとき,M = ア
m= イウ である。
(2) 放物線y=f(x) の頂点の座標は
α<キクのとき M=ケ
I a.
a²
力 であるから,最大値 M は
コ
a≧ キクのとき
また, 最小値 mは
M = サ
a² +
a+
スセとなる。
a<ソタ のとき
m= チ
a² + ツ α+[テト]
ソタ ≦a<ナ のとき
a≧ナのとき
m=
a²
m = ネ
a² -
となる。
(3)αの値が変化するとき、 M-mは α = ハヒ
のとき最小値フ
をとる。
解答
(1) α = -1 のとき f(x)=x²-2x-1=(x-1)2-2)
よって, f(x) は区間 0≦x≦4 において>
y=f(x)
7
放物線y=f(x)の頂点の座標は (-a, 2a²-4) (S-1)
Key 1 区間 0≦x≦4 の中央の値はx=2であるから, f(x) の区間
0≦x≦における最大値 M は
(i) -a >2 すなわち a < 2 のとき M = f(0)=3a²-4
(ii) -α ≦2 すなわち a≧-2 のとき M = f (4) = 3a² +8a+ 12
次に,f(x)の区間 0≦x≦4 における最小値mは
最大値 M = f(4) = 7, 最小値 m = f(1) = 2x8+z(+5)
(2) f(x) = (x+α) +2a2-4 と変形できるから
01
-1
4x
-2
(i)
y
y=f(x)!
Key 1
(!!!)
-α > 4 すなわち α < 4 のとき
O
2T4
a
(ii)
YA
y=f(x)
PA
m=f(4)=3a² + 8a +12
(iv) 0 <la≦4 すなわち -4 ≦a <0 のとき
m=f(-α)=2a2-4
(via すなわち a≧0 のとき
m = f(0)=3a²-4
(3)(2)(i)~(v) より, M-mの値は
M-m4
01
(ア) a <-4のとき
M-m=3a²-4-(3a²+8a +12)
=-8a-16
(イ) -4 ≦a <-2 のとき
M-m=3a²-4-(2a²-4) = a²
(ウ) −2≦a <0 のとき
M-m=30°+8a + 12 - (2α-4)
= (a+4)2
(エ) a≧0 のとき
M-m=3a²+8a+ 12-(3a²-4)
= 8a+ 16
(ア)~(エ)より, M-mのグラフは上の図のようになる。
グラフより, M-mは a=-2 のとき 最小値 4
()
a
12
4
x
y=f(x)
0
44X
a
16
(iv)
y
y=f(x)
0
a 4
x
(v)
y
2 0
a
y=f(x)
a0
4
X
6
