例
x2-3x +3
曲線 y=
x-2
の概形をかく。
y =
この曲線を表す関数の定義域は, xキ2である。
(x-2)(x-1)+1
x-2
x-1+
関数y=f(x)のグラフの概形をかくときには,次のような事柄について調べるとよい。
(1) 定義域 値域 (2) 対称性,周期性 (3)増減,極値 (4)凹凸,変曲点
(5) 座標軸との交点などの特別な点 (6)漸近線
(7)連続でない点, 微分可能でない点の様子
簡単な式に変形する!
-3x+3をx-2で割った
商は x-1, 余りは1
1
x-2
①
1
①より y′=1-
(x-2)2
(x-1)(x-3)
(x-2)2
y"
-2
=
2
であるから,増減,凹凸の表をつくると、次のようになる。
(x-2)3
(x-2)3
X
1
v'
+
0
2
3
...
-
0
+
"
-
-
+
+
+
Km-(x-1)=
X-2
lmをとっても「」の関係は変わら
y
と形で
y
-1 2
4
3.
また,① より lim{y-(x-1)}= lim
x→∞
X-80 X
3
y=x-1
lim{y-(x-1)}= lim
1
x2
であるから,直線 y=x-1 はこの曲線の漸近線
x2-3x+3
y=
x-2
x2+0
直線x=2 もこの曲線の漸近線である。
である。
さらに, lim y=8, lim y=-∞ であるから,
O
1
123
x
x-2-0
以上より, 曲線の概形は右の図のようになる。
関数 f(x) が連続な第2次導関数をもつとき
f'(a) = 0, f'(a) > 0 ならば, f(α) は極小値
f'(a) = 0, f" (a) < 0 ならば, f (a) は極大値
例 第2次導関数を利用して, 関数 f(x) = (x²-2x)ex の極値を求める。
f'(x) = (2x-2)ex+(x²-2x)ex = (x-2)ex
f'(x) = 2xex+(x-2)ex= (x2+2x-2)ex
であるから、f'(x) = 0 となるのは,x2=0のときである。
よって
ここで
であるから
極大値は
極小値は
x=-√2-√2
f"(-√2)=2√/2e0f"(√2)=2√20
f(-√√2) = (2+2√2) e-s
-√2
f(√2)=(2-2√2evz
