なぜ赤で囲まれたところでは、.... <(１／3)^n(3-a1)なのに回答では<=になっているのか？ ChatGPTに聞いてみたけどよくわかりませんでした。教えて欲しいです

重要 30 漸化式と極限 (5) ・・・はさみうちの原理 00000 数列 (a) が 03.42=1+1+α (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき (1) 03を証明せよ。 ((3) 数列{an) の極限値を求めよ。 指針 (2) 3-** <1/12 (3-2)を証明せよ。 [ 神戸大] p.34 基本事項 基本 21 ① すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。 (2)(1)の結果、すなわち、3-0であることを利用。 (3) 漸化式変形して、一般項αをの式で表すのは難しい。そこで、(2)で示した 不等式を利用し、はさみうちの原理を使って数列 (3-α)の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて Disastのとき limp = limg =α ならば なお,p.54.55の補足事項も参照。 lima-a 53 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 2章 数列の極限 解答 (1) 0<an<3 ...... ① とする。 [1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると 0<ak <3 nk+1のときを考えると, 0<ak<3であるから ak+1 1+1+ak >2>0 ak+1=1+1+ak <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 < よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (2)3-αn+1=2√1+an = 3-an 2+√1+an </13- <1/3 (3-4) \n-1 lim (3)(12) から, n≧2のとき no 3 1\n-1 したがって 03-am = (1/3) =(1/2) (301) (3-α1) = 0 であるから lim(3-an)=0 N1X liman=3 n→∞ 数学的帰納法による。 <0<a<3 <<αから√1+ax >1 <3から√1+αk <2 3-a>0であり,an>0 から an> n≧2のとき, (2) から 3-and- an< (3-an-1) (1/2)(3)……… \n-1 (1/2)(3) 3 =2, n=2のとき a2= 2/2 am1-1/2 を満たす数列{an)について すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。 「類 関西

空間図形、球体とベクトルの問題です。 この大問2なのですが、正四面体APQRの形に全く見当がつかなかった場合、APの長さをベクトルを使って気合で求めることはできますか？ 自分ではやってみたのですが辿り着くことはできませんでした…

例題 10 ① 三角錐 OABC があり、 OA=OB=OC=2, BC=CA=AB=1 とする. 辺 OB, OC 上にそれぞれ点P,Qを l=AP+PQ+QA が最小になるようにとる. (1) Zの最小値を求めよ. IP (2) 三角形 APQ の面積を求めよ. A (3) 三角錐 OAPQ の体積 V」 と元の三角錐 OABCの体積Vとの比の値を求めよ. B (早稲田大) ②Sを半径1の球面とし, その中心を0とする, 頂点Aを共有し, 大き さの異なる2つの正四面体 ABCD, APQR が次の2条件をみたすとする. 点 0, B, C, D は同一平面上にある. 点 B, C, D, P, Q, R は球面 S 上にある. このとき, 線分AB と線分 APの長さを求めよ. (大阪大) 考え方 11 展開図を利用して考える. ② 平面 BCD, 平面 ABO による切断面を利用. 【解答】 ① (1) 右の展開図において, △OABS△ABE. OA AB AB BE BE=/12 2 2 1 E F 1 △OEF∽△OBC. A A' M EF OE BC OB 12 1 EF= B 1 C . AP+PQ+QAAA'-1+3+1-11. (2)Iが最小になるのは P=E, Q=F のときだから, AM-√1-(3)√5-11 8 AAPQ=12.AM-EF=1.155.3 3,55 284 64- (3) A から OBC に下ろした垂線の足をHとすると, 1. AOEF.AH 3 V-1.AOBC-AH 3 ・△OBCAH 9 =(x)=16 OE OF OB OC (答) E(P) A M (答) F(Q) P(E). Q(F) C A (答) H B

この別解の途中式が知りたいです。 何度しても答えと違う式が出てきてしまって😿😿

172 重要 例題 1082円の共通接線 00000 C:x2+y2=4と円Cz:(x-5)'+y2=1の共通接線の方程式を求めよ。 指針 1つの直線が2つの円に接するとき,この直線を2円の 共通接線という。 共通接線の本数は2円の位置関係によって変わるが,この 問題のように、2円が互いに外部にあるときは,共通内接線 と共通外接線 がそれぞれ2本の計4本がある。 本 共通内線 また、共通接線を求めるときは, 共通外接線 と考えて進めた方がらくなことが多い。 C上の点(x1,y) における接線 xix+yiy=4円 C2 にも接する yA 上の接点の座標を (x1, y1) とすると 2+y^2=4 ...... 解答 に対する 接線の方程式は xx+yiy=4 ...... ② 2 C1 C2 直線 ②が円 C2に接するための条件は,円C2の 中心 (5,0) 直 ②の距離が,円 C2 の半径1 -2 O 2 4 16 -2 に等しいことであるから |5x1−4| =1 ① を代入して整理すると |5x1-4|=2 よって 5x1 -4 = ±2 6 したがって x1 = 2 5 5 6 x=1のとき,①から 64 y₁= ゆえに 25 y=±- 8-5 x₁= 2 のとき,①から 96 y₁= 25 よって = ゆえに、②から求める接線の方程式は 5 6 5 注意 直線 3x±4y=10 は共通内接線(上の図のA, B), 直線x±2√6y=10は共 接線 (上の図のCD) である。 別解] 共通接線の方程式をy=mx+n とすると,これが円 C, C2に接する条 11/8/2/22=4, 1/242/8y=4 すなわち 3x±4y=10,x±2√6y=1 4√6 5x1 0-8-S In それぞれ 15m+nl =2, したがって √m²+(-1)² =1 √m²+(-1)² ||=2ym²+1, 15m+nl=√m²+1 ー中心と直線の距離 よって ||=2|5m+n| ゆえに n=-10m 1 3n=-10 このようにして,一方の文字を消去し, 連立方程式を解く。 た asks [練習 円 Ci:x2+y2=9とC2:x2+(y-2)=4の共通接線の方程式を求めよ。 ③ 108

なぜ矢印のようになるのですか？ 2枚目が自分で解いたものです。 分子の6nはnで割って6になりませんか？🙇‍♀️

n→∞ 8 (1) (与式)=lim n→∞ 2. n(n+1) 2 n n(n+1)(2n+1) 6 ( = = lim N→∞ 6n (n+1)(2n+1) =lim n→8 1 1+ n 6 n 2+ = 0 1 n

数1論証の問題です。画像でCの二乗が3の倍数または3で割ったあまりが1になると書いてあるのですがなぜかわかりません。教えていただけると嬉しいです。

☆お気に入り登録 練習 56 練習 56 3 つの自然数 α, b, c が ' + b2 = c を満たすとき, a, bのうち少なくとも 1つは3の倍数であることを証明せよ。 ただし, 3の倍数でない整数の2乗を 3で割った余りは1であることを用いてもよい。 解説を見る a b がともに3の倍数ではないと仮定すると, α', b2 はともに3で割った余りが1であるから,m, nを整数として, a =3m+1, b2=3n+1 と表せる。 よって a+b2 = 3m+1+3n+1=3(m+n) +2 となり,m+nは整数より, a +62 は3で割った余りが2である。 一方, cは3の倍数かまたは3で割った余りが1である。 ゆえに, + 62 = c であることに矛盾する。 したがって, a, bの少なくとも1つは3の倍数である。 背理法による。 cが3の倍数ならばc は3の倍数であり,cが 3の倍数でないならば, c” を3で割った余りは1 になる。 書込開始

数学　集合と命題 赤線のところで、どうすればこのように変形できるのか分からないので教えていただきたいです。

例題 例題 1 次のイから ホ に適する数を答えよ。 3桁の正の整数で2(3-1) (nは整数) の形で表せるものの集合をAと ロ し,また3桁の正の整数で 4(2n-1)(nは整数)の形で表せるものの集 4個, 合をBとする。集合A,Bに属する整数はそれぞれ 個あり、集合ANB, AUBに属する整数はそれぞれ 個ある。またA∩Bに属する整数のうち最大のものは ハ 13, 二 ホ である。 解答 イ 150 113 ハ 38 二 225 ホ 988 解説 イAの要素は3桁だから 100≦2(3n-1)<1000 17≦n < 167 nは整数だから 17≦x≦166 よって, Aに属する整数の個数は 166-(17-1)=150個 ロ Bの要素も3桁だから 100≦4(2n-1)<1000 13≦n < 125.5 nは整数だから 13≦x≦125 よって,Bに属する整数の個数は 125-(13-1)=113個 ハ A∩Bの要素を調べるために,m,nを整数として 2(3-1)=4(2m-1) 3n-1=4m-2 3(n-1)=4(m-1) 3と4は互いに素であるから,kを整数として n-1=4k, すなわち n = 4k + 1 と書ける。このときのぃがA∩Bの要素を導く。 17≦x≦166 に代入して

⑵について質問です！解答の黄色い線になる途中式を教えてください！！！！

88mは定数とする。 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 (1)x2-mx+2m-3=0 *(2) x2+(m+3)x+m²=0 ++ 2

この問題がなぜこの式になるのかがわからないです。どなたかわかる方解説お願いします！

8 辺の長さが6cmと16cmの長方形のボール紙がある。 図の斜線部分を切り取り、 点線に沿って折り曲げてふたつきの直方体の 箱を作る。 この箱の最大容積を求めよ。 (4) 6cm 次の不定積分を求めよ。 (Cは積分定数とする。) 4xdx (3x²+2x-1)dx (2) S9x2dx (5) 2 (3) (6x- (6x+5)dx 16cm (1) (3) (5) (7)

(ⅰ)でP1,P2の集合がそれぞれ4k-3,4kと4k-2,4k-1になる理由と(ⅱ)の1,2∪4k,4k+3と3∪4k+1,4k+2になる理由を教えてください！

を自然数とし, 1からnまでの異なるn個の自然数からなる集合をN とする. Nの2つの部分集合 P1, P2は PinP2 = Ø かつ P1UP2 = N を満たすとする。 ただし, Øは空集合とする. P1 の要素の総和を S1. P2 の要素の総和を S2 とすると き, S1 S2 を満たす P1, P2 が存在するようなn の値をすべて求めよ。

Xの値を求めよという問題です。図形は写真にかいてあります。途中で計算のやり方が分からなくなってしまいました。どなたか教えて下さい。お願いします🙇

A √3 130° (2) √5cm 1 = √3 =>= √ √6 = √3 - 16 1=x=16 2=√5 ① xcom = √5x-43 18. モト -2x6 3 √6x16 83 10/2