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考え方
(3)AQQB, OP:PQ をそれぞれ求めよ。
思考プロセス
見方を変える
線分 AF 上にある
題 23 交点の位置ベクトル [1] [5]
出
★☆★☆☆
△OAB において,辺OAを2:1に内分する点をE,辺OBを3:2に内分
する点をFとする。また,線分AF と線分 BE の交点をPとし,直線OP
と辺 AB の交点を Q とする。さらに,OA = 4, OB=6 とおく。
(1) OP
を用いて表せ。
(2), を用いて表せ。
ma 24
(2)点Qは直線 OP 上の点であるから
(-1)
4
1
-ka+
kb
... 3
OQ=kOP
とおける
OQ= (1-u)a+ub
...④
A AC
3点 0,P,Qが一直線上
BA
にあるOQ=kOP
また, AQ:QB=u: (1-u) とおくと
a = 0.6 0 であり,とは平行でないから,
■係数を比較するときに
は必ず1次独立であるこ
とを述べる。
TO+AOR
an
③ または ④に代入する。
音
3
1
③ ④
k=1-u かつ k = u
3
9
3
これを解くと
k =
AO
u=
7'
⇒ 線分AF をs (1-s) に内分するとする。 AME noiA
4- 3
平面上の位置ベクトル
(1) P
OP = (1-s)+s¯ =℗a+® b
線分BE上にある点に対する位置が
よって
0Q = a+ -b
7
OP
4- 1
=
a+ b
9
3
1次独立のとき
(別解〕点 Q は直線 OP 上の点であるから
4a +36
OP= (1-1)+[
線分BEをt (1 - t)に内分するとする。3=3
9
OQ = kOP=ka+kb
... 3
7 4a+36
=
×
9
7
直線 OP 上にある
とおける
GA+DAS
を
再
と変形して考えてもよい。
(2)点Q
OQ=kOP = a+b
線分AB上にある
JA
4
1
例題 25 参照。
点 Q は辺 AB 上の点であるから
-k+ k = 1
1次独立のとき
9
3
⇒ 線分ABをu: (1-u) に内分するとする。
⑦
9
4→
3
k =
より, ③ に代入すると
OQ = (1-u)+u] = @a+@b
Action» 2直線の交点の位置ベクトルは, 1次独立なベクトルを用いて2通りに表せ
Fa+
J
7
14:9/7 7
点Qが直線AB上にあ
11-90
⇔OQ=sOA+tOB
(s+t=1)
(3)2
AG 上にあるから
JEDAQ:QB =
3
4a+36
=3:4
Q=
2-
5
(1) Eは辺 OA を 2:1 に内分す
る点であるから OE=330
点Fは辺 OBを3:2に内分する Es Fenitory
点であるから OF = 2 3
F
7
②
ABCのAおめ
(1-
また,(2)より OP = -O
7
40A+ 30B
P
3+4
9
Q
①
B
より点 Qは線分ABを
F
-SP
ES
OP:OQ = 7:9 となるから
OP:PQ = 7:2
3:4に内分すると考えて
もよい。
A
M.Q
AP:PF=s:(1-s) とおくと
AB
点Pを△OAFの辺 AF
の内分点と考える。
Point... 1次独立であることを述べる理由
OP-(1-s)OA+SOF = (1-s)a+sb
0
5
BP:PE=t:(1-t) とおくと
・ ① A
① ② より
2
1-s='
241
これを解くと
5
2
t
4-
よって
OP =
1
+ b
9
3
10
OP= (1-10B+108=1/214+(1-1)6
06=0であり,ことらは平行でないから
t かつ 1s
すると、もう一方に
E
... 2
3
REST
点PをOBEの辺BE
の内分点と考える。
F
B
例えば, a = 0 のとき,2a+365a+3 が成り立つが、両辺のαの係数は等しく
ない。 また, a = 26 (a としが平行)のとき,2a+56=3a+36 が成り立つが、両辺
のαの係数は等しくない。
このように,または6=0 または a / bであるときは, 係数が等しくならない
場合があるため、 ≠ 0 6 = 0, a と b は平行ではない」ということを述べている。
s=1-t
係数を比較するときに
は必ず1次独立であるこ
とを述べる
①または②に代入する。
ができるの
点をQとする。さらに, OA = 4, OB =
を用いて表せ
2
0
練習 23 OAB において,辺OAを3:1に内分する点を E, 辺OBを2:3に内分する
点をFとする。 また, 線分AF と線分BEの交点をP, 直線 OP と辺 AB の交
AO(-1)-90
おく。
Jet
