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P.210 基本
基本 例題 132 多角形の面積
次のような図形の面積Sを求めよ。
(1) AB=6,BC=10, CD = 5, ∠B=∠C=60°の四角形ABCD
(2) 1辺の長さが1の正八角形
CHART & THINKING
(1) まずは右のように図をかいてみよう。
基本131
からSを、それぞ
多角形の面積はいくつかの三角形に分割するのが基本方針
だが,対角線 AC, BD のどちらで分割するのがよいだろうか?
ACで分割→ △ABCに余弦定理を用いると、線分AC の
長さは求められるが,DACの面積はすぐにはわからない。
BD で分割 → △BCD は BC:CD=2:1, ∠BCD=60° に
注目すると, ∠DBCの大きさや線分 BD の長さがわかる。 これを利用して △ABD の面
積を求めてみよう。
6.
5
60°
60°
B
10
C
4章
解 (1) (後半)
ロンの公式を用
=4+5+6 から
って
=√s(s-as-
(2) 正八角形の外接円の中心を通る対角線で8つの三角形に分割すればよい。
解答
(1) BCD において, BC=10, CD = 5,∠C=60°から
∠BDC=90° ∠DBC=30°
BD=BCsin60°=5√3
6
5√3
157
15
22
30°
15/7
△ABD において
∠ABD= ∠ABC-∠DBC=30°
30°
60℃
4
よって, 求める面積は
B
10
60°
S=△BCD+ △ABD
_n 150°
150=-
=1/23・5・5√3+1/23・6・5v3 sin30°=20√3
(2) 正八角形の外接円の中心を0, 1辺をAB とすると
AB=1, ∠AOB=360°÷8=45°
OA=OB=α とすると, OAB において, 余弦定理により
12=α²+α2-2aacos 45°
整理して 1=(2-√2)a²
s150°=-
ゆえに a²=-
1
2-√2
2+√2
2
よって, 求める面積は
S=8△OAB=8asin45°=2(√2+1)
8.1/23a'si
PRACTICE 132Ⓡ
合同な8個の三角形に分
ける。
A 1
B
a
45% a
αのまま代入する。
)は鈍角三
次のような図形の面積を求めよ。
(1)AD // BC, AB=5,BC=6,DA=2,∠ABC=60°の四角形ABCD
(3)1辺の長さが1の正十二角形
(2)AB=2,BC=√3+1,CD=√2,B=60°,C=75° の四角形ABCD
15
三角形の面積、空間図形への応用
