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基本例題 212 最大・最小の文章題(微分利用)
半径aの球に内接する円柱の体積の最大値を求めよ。 また, そのときの円柱の高
さを求めよ。
指針 文章題では, 最大値・最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。 次の手順で進める。
① 変数を決め、 その変域を調べる。
② 最大値を求める量(ここでは円柱の体積) を, 変数の式で表す。
[③3] [②] の関数の最大値を求める。なお,この問題では、求める量が, 変数の3次式で表
されるから, 最大値を求めるのに導関数を用いて増減を調べる。
なお,直ちに1つの文字で表すことは難しいから、わからないものは,とにかく文字を使
って表し、条件から文字を減らしていくとよい。
-
解答
円柱の高さを2h (0<2h<2a) とし,
底面の半径をrとすると
r²=d²-h2
0 <2h<2a から 0<h<a
円柱の体積をVとすると
V=лr².2h=2(a²-h²) h
=-2π(h-ah)
V を ん で微分すると
h=
V'=-2x (3h²-α²2)
=-2(√3h+a)(√3h-a)
0くん<a において, V' =0 となる
のは, h=
のときである。
ゆえに, 0 くん<a におけるVの増
減表は, 右のようになる。
したがって, Vはん= のとき最大となる。
a
1 1/3のとき、円柱の高さは2･
よって
4√3
体積の最大値
9
そのときの円柱の高さ
h 0
V'
V
-ла³,
a 2√3
3
=
2√3 a
3
a
23 0
√3
1± 2x(a²-9²).-4√3 xa²
+
| 極大
a
√3
a
計算がらくになるように
2h とする。
群馬
基本211
三平方の定理
変数の変域を確認。
tlas 2x25-64
1 (円柱の体積)
=(底面積)×(高さ)
dV
dh
◄2h
を V' で表す。
h = 0, αは変域に含まれて
いないから 変域の端の値
に対するVの値は記入し
ていない。
今後、本書の増減表は,こ
の方針で書く。
◄2л(a²-h²)h
