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aを実数とし,数列 {x.} を次の潮斬化式によって定める。
2019年度 (3]
Level C
X1=a, Xn+1=X,+x,(n=1, 2, 3, …)
(1) a>0のとき, 数列 {x,} が発散することを示せ。
(2) -1<a<0のとき, すべての正の整数nに対して-1<x,<0が成り立つことを示
せ。
(3) <
-1<a<0のとき,数列 {x,} の極限を調べよ。
ポイント 与えられた漸化式が解けてしまえば(1)~(3)すべて簡単に答えられるであろう
が,この漸化式は解けそうにない。
(1) a>0のとき x,→8 (n-8) となることはすぐにわかる。 このことを示すには,
x,>(n の式)かつ(nの式)→ (n→8) となる (nの式) を作り出せばよい。
(2) エ+」=x,+x,"=(x。+-ーが強力なヒントである。
I
2
いての らはポー 2 140>!**x>I-f0>"*>I-
としてみて, おーー。
I
X3=
3
などと計算してみればx,→0の見当
16
- -
(3) X1=a=
がつく。はさみうちの原理に持ち込みたいが, そのためには不等式の扱いに技巧が必要
となるであろう。
--2213-Dー" ()
