例題 平面に下ろした垂線
11 ベクトルの図形への応用
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29 3点A (1, 0, 0), B(0,2,0), (0, 0, 1) の定める平面 ABC に,原
点Oから垂線OH を下ろす。 点Hの座標を求めよ。
解答 点Hは平面 ABC 上にあるから,
OH=sOA+tOB+uOČ, s+t+u=1... 1 (s, t, uは実数)
と表される。
よって、 OH=s(1,000,2,0)+u(0,0, 1) = (s, 2t, u)
OH⊥平面 ABC であるから OHA OHAC
よって OH･AB=0, OH・AC=0
←
- OH は平面 ABC 上の
すべての直線に垂直。
ここで
14
OH･AB=0 から s ×(-1)+2t×2+ux0=0
OH･AC 0 から sx(-1)+2t×0+u×1=0
AB=(-1,2,0), AC=(-1, 0, 1)
よってt=1s
よって
u=s
(3
① ② ③ を解くと
4
S=
1=1
4
u =
9
9
9
DK, OH= (₁₂,
4 2
4
2
4
であるから,点Hの座標は
9' 9
9
9
9
