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0000
式という
えると
の2
a+by^- 201
X
[日本
2行目の式
1
x
解答
を断ってから
一割る。 なお (1)xを1の3乗根とすると
程式の左
ゆえに
x³-1=0
(左辺=2
したがって
を入れ
1-1-
x
この式と
1 ot
Hit
基本例題 61
(1) 1の3乗根を求めよ｡
(2)1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをとする。
(ア)2も1の3乗根であることを示せ。
1
えることが
1
指針 (1)
(2)
(1) w²+w³, +1+1, (w+2w²)²+(2w+w³²)² iznenkok.
2
(2) ア
@=
これを解いて, 1の3乗根は
-1+√3i
2
練習
61
1の3乗根とその性質
基本58
3乗してαになる数,すなわち、方程式x=αの解を,αの3乗根という。
(1)で求めた方程式x=1の虚数解を2乗して確かめる。
(ア)
(イ)は方程式x²+x+1=0, x=1の解→ ²+ω+1=0, ω²=1
2
-√3 i
4
口を
よって, w2も1の3乗根である。
-91+2 (1) ω は方程式x+x+1=0, x=1の解であるから
ω'+ω+1=0,ω'=1
よって
x-1=0 または x²+x+1=0
-1+√3 i
2
とすると
i
0 ² = ( = 1 + 2√³²)² =. 1-2√3 i+3i²_-1-√3i
2
とすると
x³ =1
「POINT｣
1.
w²=(1-√3i)°_1+2√3i+3p _ _1+√3i
2
141
w²
(x-1)(x²+x+1)=0
w²+w=(w³)² w+(w³) ² w²=w+w²=-1
w+1+w²
w²
よって
また
-=0
W
ω'+ω+1=0から, w2=-ω-1 となり
(w+2w³)²+(2w+w³)² = {w+2(-w-1)}²+(2w-w-1)²
=(-w-2)²+(w-1)²=2w²+2w+5
+1=
=2(-ω-1)+2+5=3
00000
(1) 200+50
(3) (w200+1)100+(ω100+1) 10 +2
3次方程式の解は複素数の
範囲で3個。
ω はギリシャ文字で､ オ
メガ」と読む。
(検討)
x=1の虚数解のうち、どち
としても,他方が
となる。よって、1の3乗根
it 1, w, w¹
ω'=1 を利用して, 次数を
下げる。
ω=-ω-1 を利用して、
次数を下げる。
12(w²+w+1)+3=2-0+3
としてもよい。
1の虚数の3乗根の性質 ①2+ω+1=0 ② ω'=1
がx2+x+1=0の解の1つであるとき,次の式の値を求めよ。
1 1
w²
p.110 EX44
99
2章
11
高次方程式
