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47 軌跡(V)
mを実数とする. xy 平面上の2直線
mx-y=0....①,
について,次の問いに答えよ.
x+my-2m-2=0 ...... ②
(1) ①,②はmの値にかかわらず,それぞれ定点 A, B を通る.
A, B の座標を求めよ.
(2) ①,②は直交することを示せ.
(3) ①,②の交点の軌跡を求めよ.
精講
(1)37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず」とあるので,「m
について整理」して, 恒等式です。
(2)36 で勉強しました. ②が 「y=」 の形にできません.
(3) ①②の交点の座標を求めておいて,45 の要領でやっていこうとするとか
なり大変です. したがって, (1), (2) をうまく利用することになりますが,45
の IIIを忘れてはいけません.
ことはないので, 点 (0, 2) は含まれない.
よって, 求める軌跡は
円 (x-1)+(y-1)2=2 から, 点 (0, 2) を除いたもの.
注 一般に,y=mx+n 型直線は, y 軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので,y が必ず残って, x=k の形にでき
ないからです.逆に,xの頭には文字がついているので,m=0 を
代入すれば,y=n という形にでき, x軸に平行な直線を表すことが
できます.
45 の要領で①,②の交点を求めてみると,
2 (1+m)
x=
1+m²,y=
2m(1+m)
1+m²
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです. しかし, 誘導がなければ次のような解答ができます.
YA
x=0 のとき, ①よりm=y
I
②に代入して+1°_y_
--2=0
I
I
.. (x-1)+(y-1)²=2
:.x2+y^-2y-2x=0
解答
(1)m の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0
∴A(0,0)
②より (y-2)m+(x-2)=0だから
∴.B(2,2)
ax+by+c=0とAx+By+C=0が直行する条件は
A+bB=0となることです
<mについて整理
y... の形にして焼き焼き)--1
と式を立ててもよいですが、
その際は0で割ってはいけないから)
文字mで割るときに場合分けが必要になってしまいます
次に, x=0 のとき, ①より,y=0
これを②に代入すると, m=-1となり実数mが存在するので,
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ①,②の交点の軌跡は円 (x-1)2+(y-1)^=2 から点
(0, 2) を除いたもの.
ポイント 定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は,
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
(2) m・1+(-1) ・m=0 だから,
①,②は直交する.
36
だから冒頭の条件が楽です
ベクトルを習っていると理解しやすいです
ax+by+c=0 の法線ベクトルが(a.b)
Ax+By+C=0 の法線ベクトルが (A.B)
2直線が垂直ということは2ペクトルが垂直ということ
だから内積A+bBが0です
(3)(1),(2), ① ② の交点をPとすると ① ②
より, ∠APB=90°
Y!
2
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある. この円の中
心は ABの中点で (1,1)
0
演習問題 47
A
2 x
また,AB=2√2 より 半径は√2
よって, (x-1)+(y-1)²=2
ここで, ①は軸と一致することはなく、 ②は直線 y=2 と一致する
tを実数とする. xy 平面上の2直線 l : tx-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) tの値にかかわらず, l, mはそれぞれ, 定点 A, B を通る.
A, B の座標を求めよ.
(2), mの交点Pの軌跡を求めよ.
T
