a=-1, an+1=a,?+2nan-2 (n=1, 2, 3, …)で定義される数列(。。
ついて, 一般項 an を推測し,それが正しいことを, 数学的帰納法を用いて証
p.518 基本事項1, 基本 119
【宮崎大]
明せよ。
CHARTO
S
lOLUTION
漸化式と数学的帰納法
n=1, 2, 3, の
実際に n=1, 2, 3,
を推測し,それを証明する。基本例題 104 のINFORMATION も参照。
で調べてn化(一般化)…
…のとき (a, a2, as, ………)を求め,その規則性からa.
解答
ai=-1, a2=a°+2·1·ai-2=-3
as=a°+2-2-az-2=-5
a4=a+2-3·as-2=-7
(15)+6(-5)-2
合負の奇数,すなわち
(2n-1)=-2n+1
のと推測される。
『ゆえに,an=-2n+1
すべての自然数nについて, ① が成り立つことを数学的帰納法
で証明する。
[1] n=1 のとき
のでn=1 とすると
よって,①は成り立つ。
[2] n=k のとき①が成り立つと仮定すると
5.0
a=-1
ag=-2k+1
n=k+1 のとき, 与えられた潮斬化式から
an+1=(as)?+2kax-2
合漸化式で n=k とする
=(-2k+1)?+2k(-2k+1)-2
*ak=-2k+1 を代入。
=-2k-1
=-2(k+1)+1
したがって, n=k+1 のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて① は成り立つ。
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