例題
55 文字係数の方程式
平
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αを定数とするとき,次の方程式を解け.
(1) ax²-(a+1)x+1=0
(2) (α2-1)x2=a-1
平金
考え方 文字係数を含む方程式を解く問題.
p.68 の例題 29 文字係数の不等式と同様に考える。つまり、見かけ上の最高次の項の第2章
係数が0の場合とそうでない場合を分けて考える。
たとえば,(1)では,x2の係数αに着目すると,
Ant
α=0 のとき,-x+1=0 となり 1次方程式となる.
a=0 のとき,ax²-(a+1)x+1=0 の2次方程式を考える.
解答
(1)(i) a=0のとき
(
もとの方程式は, -x+1=0 より, x=1
a0 のとき
ax2+(-a-1)x+1=0
0=(-)(S+
(x-1)(ax-1)=0 より, x=1,
a
よって, α=0 のとき,x=1
40 のとき,x=1,1
(2)(α-1)(a+1)x2=a-1
(i) a=1のとき
x2の係数が0のとき,
x2の項がなくなるの
で,xの1次方程式に
なる.
1
←
- a
-1->>
-1
-a-1
もとの方程式は,
0x20
of b
このとき,xはすべての実数
(ii) a=-1のとき
もとの方程式は, 0.x2=2
弱点で交 a=1 のとき,xがど
のような値であっても
0x = 0 は成り立つ.
a=−1 のとき, xに
どのような値を入れて
も0.x=-2 が成り
これを満たすxは存在しないので、解なし 立たない.
(ii) αキ±1 の
平2-10 から, 両辺を2-1で割って
a-1
x²=
a²-1
1
x2=-
a-1
a+1
(a+ps)s-ve
=
(a+1)(a-1)
α>−1 のとき, x=±
1 Va+1
=
->0より,
a+1
a+1
a+1
例題よって,
(1+x+2)=
-1 のとき, 解なし
a=1のとき,xはすべての実数
a≦-1 のとき,解なし
DS)
a+1>0
−1
x(a
√a+1
-1<a<1, 1<α のとき, x=±
a+1
a+x-s-(-)--(+),30 =
