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基 本 例題 167 不等式の証明と極限
(1) x>0 のとき, x 10gx であることを示せ。
logx
(2) (1) を利用して, lim
X→∞
CHART OLUTION
不等式の証明と極限 はさみうちの原理を利用
(1) f(x)=左辺(右辺)とし, f(x) > 0 を示せばよい。 f(x) の増減表を作り,
(最小値) > 0 を示す。
(2)(1) の不等式を利用して、
f'(x)=
lim
x-∞ √x
解答
(1) f(x)=√x-logx (x>0) とすると
1_√x-2
2x
1
2√x
-=0 であるから
INFORMATION
例題で証明した lim
- = 0 を示せ。
x
f'(x)=0 とすると
√x =2
これを解いて x=4
x>0 におけるf(x) の増減表
は右のようになる。
x>0のときf(x)≧f(4)=2-log4=loge²-log4> 0
よって, x>0 の
√x>logx
(2)x→∞について考えるから,x>1 としてよい。
このとき (1) から 0<logx<√x
各辺をx(>0) で割って
logx
x
X→∞
logx
x
0 <
x
f'(x)
f(x)
logx
XC
を不等式ではさむ。
logx
lim
X→∞ x
<.
0
1
√x
-=0
T
4
0
極小
2-log 4
+
>
......
INS
*** (<(x))
00000
■2=210ge=loge²
また, 2<e<3 である
から 4<e²<9
|基本 165
はさみうちの原理
-=0 において, logx=t とおくと x=e であり,
te'
x→∞ のとき → ∞ であるから, lim-
この2つの極限はよく使われるので覚えておくとよい。 次ページも参照。
x
= 0 すなわち limax=0 も成り立つ。
PRACTICE･･・･ 167③
(1) 0<x<πのとき, 不等式 xCOSx < sinx が成り立つことを示せ
