れる。
換えた等式
-1=5an-4
=5a-4
例題
14
-a=pla
次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。
a1=8, an+1=2an-3
4-6
an+1=2an-3 を変形すると,
an+1-3=2(an-3)
したがって,数列{an-3} は,初項 α1-3=5,公比2の等比数
列となり, an-3=5・2n-1
よって,
an=5.2n-1+3
α=2a-3より、α=3
問42 次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。
(1) a1=2, an+1=2an+1
(2) a1=7,an+1=-2an+6
研究 階差数列を利用した漸化式の解法
α=11, an+1=2an-3n
1
で定められる数列{an}の一般項を、階差数列を用いて求めてみよう。
①のnにn+1 を代入すると, an+2=2an+1-3(n+1) .... (2
②① より
an+1-an=bn とおくと,③は, bn+1=2bn-3
a2=2a-3・1=2・11-3=19
① に n=1 を代入
であるから、数列{bn}の初項 by は,
よって、上の例題14 と同様にして
α2-α=19-11=8
bn=5.2"-1+3
数列{bn} は数列{an} の階差数列であるから、数列{an}の一般項は,
n≧2のとき、
n-1
an= a₁ +
+3(n-1)
an+2an+1=2(an+1-an) -3
5(2-¹-1)
+(5.2k-¹+3)=11+
2-1
p.42 1②23.p.44 5.
=5.2"'+3n+3
この式は, n=1のときも11となり, 初項α と一致する。
よって,
an=5.2" 1+3n+3
