-
![]()
0
+2-6an+1+5a"=
+2an+1=5 (@z+1-an)
az_a1=(2a+b1) -a1=a+b1=8
5/
an+2
20円+1=3a,+4(an+1-20m)
この漸化式を利用して, am を求めてもよい。
(2)
an+2+50円+1 +60=0を変形すると
ゆえに
よって
an+2+2ax+1=-3(an+1+20m)
①
また
an+2+3an+1=-2(an+1+30m)
...... ②
① から, 数列 {an+1+20m)は初項a2+2a1=1,
公比-3の等比数列で
an+1+2a„= (-3)"-1
③
②から、数列{n+1+30円)は初項a2+3ay=1,
公比2の等比数列で
@n+1+30„= (-2)"-1
...... ④
③から an=(-2)"-1-(-3)"-1
an+2-6an+1+90=0を変形すると
ゆえに、数列{an+1-2)は初項 8 公比5の等
比数列で an+1-a=85"-1
数列{an}の階差数列の第n項が 8.5"-1であるか
ら、n≧2のとき
-1
an=a+28.5-1=2+
よって
a=2.5"-1
8(5"-1-1)
5-1
..... 3
③でn=1 とするとα=2が得られるから
は n=1のときにも成り立つ。
bn=an+1-2an
=2.5"-2.2.5"-1=6.5-1
(3)
また
an+2-3am+1=3 (am+1-3am)
数列{n+1-30m}は初項a2-3a1=1 公比3の
等比数列で
an+1-30=3-1 +
88
90 (1) 1+10 + 102 +... + 10″ - 1
=1/08 (101)
両辺を 3 +1で割ると
an+1 an 1
3*+1
3"
9
とする。
an
数列
3n
は初項 3
ar
1
1
公差
の等差数列
[1] n=1のとき
3
,
左辺 = 1,
=
(10−1)=1
で
よって
an
1
3=+ +(n-1)/1=(n+2)
3"
an=(n+2)・3”-2
(1) a2=2a1+b1 = 10,
b2=3a1+4b1=30,
43=2a2+b2=50,
b3=3a2+462=150
n+1=24n+6n
①
+1=3a+46m
②から
1-9
an+1+bn+1=5(a+b)
a+b1=8
二、数列{an+6m}は初項 8,公比5の等比
③
34+1-bn+1=34-bn
T an+6=8.5"-1
-② から
3a-b„=3a-b1=0
3a,-b=0
○から
4a,-8.5"-1
よって, n=1のとき, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち
1 + 10 + 10° + .
+10k-1
=
11/8(10^-1)
と
い
と仮定する。 n=k+1 のとき, ① の左辺につ
いて考えると,②から
§ 1+10+102+.
= (10-1)+10*
+10k-1 + 10k
= (10-1+9-10)
=
(10k+1−1)
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。
(2) 13+25 +3.7 + ・・・・・
+m(2n+1)
a=2.5"-1
④から 6=34=6.5-1
=oon(n+1)(4n+5)
① とする。
[1] n=1のとき
の解法でも {a}{bm)の一般項を求める
左辺 = 1.33
8
きる。
右辺 = 12・1・(1+1)-(4-1+5)=3
