c 2直線の交点を通る直線の方程式
2直線 x+2y-4=0, 2x-y-30 に対して, 方程式
k(x+2y-4)+ (2x-y-3)=0
①
の表す図形とは? ただし, kは定数とする。
k=1
k=0
k=2
① は, 連立方程式
x+2y-4=0, 2x-y-3=0
2x-y-3=0
2
の解x=2, y=1に対して常に成り立つ。
k=-1
1.
x=2, y=1は2直線上の点なので
x+2y-4に代入しても0
2
4
x
2x-y-3に代入しても 0
-3
x+2y-4=0
よって, kがどのような値をとっても
①は, 2直線の交点(2, 1) を通る図形を表す。
x=2, y=1 を代入したら式が成り立つので
① を x, y について整理すると
(k+2)x+(2k-1)y-4k-3=0
ここで,x,yの係数k+2, 2k-1は同時には0にならない。これは直線の式なので
方程式 ① は, 2直線の交点を通る直線を表す。
(図のように,kの値によって (21) を通る直線がいろいろ決まる)
ただし, 直線 x+2y-4=0は表さない。
(式) = 0 の形で表された2直線について
k(式1こ目) + (式2こ目) = 0
は,交点を通る直線である。
例8 2直線x+2y-4=0, 2x-y-3=0の交点と点(-1, 5) を通る直線の方程式は?
を定数としてk(x+2y-4)+(2x-y-3)=0
とすると,①は2直線の交点を通る直線を表す。
この直線が点(-1, 5) を通るとすると, ① に x=-1, y=5を
代入して
ゆえに
5k-10=0
k=2
これを①に代入して整理すると
4x+3y-11=0
①のなかから,(-1,5) を通る
「当たり」 の直線を見つけている。
[終]
