aは定数で,a>0 とする。 関数 f(x) =x-3a'x (0≦x≦1) について
最小値を求めよ。
CHART
&GUIDE
(2) 最大値を求めよ。
最大・最小 増減表を利用 極値と端の値に注目
文字定数αのとる値によって, 関数 f(x) のグラフの形が変わるから,
分けして考えなければならない。
(1) 極小値をとるxの値αが 0≦x≦1 に含まれるかどうかで場合分||
(2)この問題の場合, 極大値は影響しないから、定義域の端の値を比較
f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)
f'(x)=0 とすると
x=±a
(1)a>0であるから, 0≦x≦1 における f(x) の増減表は,次のようになる
[1] 0<a<1 のとき
10
x
f'(x)
f(x) 0
...
...
a
1
-
0 +
-2a³ 7
1-3a²
[1], [2] の増減表から
0<a<1 のとき x =αで最小値-2α
a≧1 のとき x=1 で最小値1-3a2
[2] α≧1 のとき
x
f'(x)
1
f(x) 0 1-3a²
極小値をとる
義域内にある
(1)[1][2] それぞれの増減表から
[1] 0<a<1 のとき
最大値は
f(0) = 0 または f (1)=1-3α²
ここでf(1)-f(0)=1-3a²=-(√3a+1)(√3a-1)
■定義域の端
f (1) が最大
両者を比較
// のとき,f(0) <f(1) から,最大値は(1)(1
0<a<
/3
3
=≦α <1 のとき,f(0) ≧ (1) から, 最大値はf(0)
2] a≧1 のとき,最大値はf(0)=0
■], [2] から
0<a<
<
1
のとき x=1で最大値1-3a2
/3
a≥
のとき x=0 で最大値 0
▪ ƒ (1) — ƒ (0)|
0≦x≦1で
関数。
