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基本 例題 87 座標を利用した証明 (2)
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針 p.123 基本例題 74と同じように、計算がらくになる工夫をする。
座標の工夫 ① 座標に0を多く含む [2] 対称に点をとる
基本 74
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分
数が現れないように, A (2a,26),B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
なお、本間は三角形の外心の存在の座標を利用した証明にあたる。
点と直線の
解答
∠Aを最大角としても一般性を失
わない。 このとき,∠B <90°
∠C <90° である。
y
A(2a, 2b)
開菜
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, b),B(c, 0),
C(-c, 0) では,△ABC
ただし
直線BC をx軸に,辺BCの垂直
二等分線をy軸にとり,△ABC
の頂点の座標を次のようにおく。
(A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
a≥0, b>0, c>0
NX
は二等辺三角形で, 特別な
M
K
C
-2c OL
2cx
三角形しか表さない
座標を設定するときは,
一般性を失わないように
しなければならない。
傾きは
であるから,mo- =-1より
<90°, ∠C <90° から, a≠c, aキーcである。
更に,辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とす
2 ると,L(0,0), M(a+c, b), N(a-c, b) と表される。
辺ABの垂直二等分線の傾きを とすると, 直線 AB の
b
atc
b
証明に直線の方程式を使
用するから,(分母)=0
とならないように,この
条件を記している。
&(S)
0-2b
-2c-2a
b
atc
です
a+c
点を
m=-
交
28-
よって,辺AB の垂直二等分線の方程式は
平行
の
y-b=--
atc(x-a+c)
点N (a-c, b)を通り,
傾き -
a+c
の直線。
b
すなわち
atc
a2+b2-c2
y=-
-x+-
b
①の交点である
辺 ACの垂直二等分線の方程式は,①でcの代わりに
b
-c とおいて
a²+b²-c²
a-c
x+
b
y=-b
2直線①②の交点をKとすると, ①②の切片はと
もに
a²+b²-c²
であるから
K(0, a² + b²-c²)
b
点Kは, y 軸すなわち辺BC の垂直二等分線上にあるから,
◆辺ACの垂直二等分線
b
a-c
AC に垂直で, 点
M(a+c, b) を通るから
①でcの代わりに
とおくと,その方程式
得られる。
は,傾き
の直線
②
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
