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基本 例題 2073次関数が極値をもつ条件,もたない条件
関数f(x)=x^3+ax²が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。
(2) 関数f(x)=x^-6x+6ax が極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲
を求めよ。
あるから、
18.
十分条件
め
(3) 関数f(x)=x3+ax2+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。
ただし, aは定数とする。
基本 201206 重要 210
SIST
指針 3次関数f(x) が 極値をもつ
⇔f'(x) の符号が変わる点がある
⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ
⇔f'(x)=0の判別式 D>0
符号の変化
している。
解答
(1) f'(x)=3x2+2ax
f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x) = 0 が異なる2つの実
数解をもつことである。 3x2+2ax=0 の判別式をDとする
D=a²-3·0=a²
と
ゆえに, d²>0 から
このD>OTE ここで本
a=0
(2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x²-4x+2a)(+*o)n+(²8+
f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x)=0 が異
なる2つの実数解をもつことである。
よって, x2-4x+2a=0 の判別式をDとすると
D=(-2)^-1・2a=4-2aから, 4-2a>0より
極大
x=α
4
練習
3207
(3) f'(x)=3x2+2ax+1
f(x) が極値をもたないための必要十分条件は,f'(x) の符号
が変わらないことである。 ゆえに,f'(x)=0 すなわち
3x²+2ax+1=0
① は実数解を1つだけもつかまたは
4(√4-a)
実数解をもたない。から
よって、①の判別式をDとすると
ここで
D=q²-3.1=(a+√3)(a-√3)
ゆえに (a+√3)(a-√3)=0
D≤0......
D>0
a <2
の係数) >0のとき
y=f(x) |
x=B₁
極小
3次関数が極値をもつとき,
極大値と極小値を1つずつ
もつ。
x(3x+2a)=0 から
y=f'(x) /
心
Bx
CONS 2
x=0,
(3)
よって a≠0
としてもよい。
D=0
. (*) XD<0
a
y=f'(x)
y=f'(x) /
x
x
よって一≦a≦√(*)D<0は誤り。
(1) 関数f(x)=4.x3-3(2a+1)x² +6ax が極大値と極小値をもつとき,定数aが
満たすべき条件を求めよ。
[類 工学院大 ]
(2) 関数f(x)=x3+ax²+(3a-6)x+5が極値をもつような定数aの値の範囲を
[類 名古屋大 ]
323
+1 が常に単調に増加するような定数aの値の範
必学類 千葉工大]
6章
36
関数の増減と極大・極小
