波線部分が理解できません😿なぜそのように言い換えられるかが不明ですよろしくお願いします🙇

EN論法で, 数列の極限を攻略しよう! 数列と関数の極限 818 一般項an が与えられたとき,その極限liman の問題は高校でも既に勉 強しているね。でも,数列{an}が極限値 αをとることを示す厳密な証明 法として,大学の数学では,e-N論法をマスターする必要があるんだよ。 イプシロン・エヌろんぼう”と読む。 まず,この “e-N論法” を下に示す。 E-N論法 正の数をどんなに小さくしても,ある自然数 N が存在して, nがn≧Nならば,|an-a|< となるとき, liman=α となる。 n→∞ これだけでは,なんのことかわからないって? 当然だね。 ここは,大学 の数学を勉強する上で, みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧 に話すよ。 この意味は,正の実数を小さな値, たとえば, c = 0.001にとったとし ても,ある自然数Nが存在して, 数列 41, 2,., an-1, ax, ax+1, … のうち n≧Nのもの, すなわち ax, ax+1, に対して, α との差αが、 (N,N+1,... ε=0.001より小さく押さえられる, と言っているんだね。 ここで,正の実数は連続性と稠密 (ちゅうみつ)性をもつので,こ を限りなく0に近づけていくことができる。 それでもあるNが存在し n≧N をみたす an について, lan -α < が成り立つといっているわけ ら, n→∞のとき, α はαに限りなく近づいてlim=α と言える だね。 納得いった? 818

(2)で質問です。 イプシロンやSが書かれていない時はそのままdの変化で考えて大丈夫なのですか？

発展例題38 極板間にはたらく力 電気容量 C,極板間隔dの平行板コンデンサーがある。両極板 ⊿x には,±Q の電荷がたくわえられている。 極板間の電場は一様で あるとして,次の各問に答えよ。 +Q -Q (1) コンデンサーがたくわえている静電エネルギーを求めよ。 √(2) 極板間の距離をゆっくりと 4x引きはなしたときの静電エネルギーを求めよ。 V (3) 極板間にはたらく引力の大きさを求めよ。 指針 極板を引きはなす仕事の分だけ,コ ンデンサーの静電エネルギーは増加する。 また, 引きはなす力と極板間の引力の大きさは等しい。 解説 (1) 静電エネルギーをUとして, U= = 2C (2) 極板を引きはなした後の電気容量をCとす る。 電気容量は, 極板間隔に反比例するので、 C'= d+4x -Cとなる。 求める静電エネルギー U'は, U'= 2C' = Q°(d+4x) 2Cd ■発展問題 473 d (3) 極板を引きはなす力の大きさをFとする。 この力がする仕事 F⊿x は, 静電エネルギーの 増加分 U'-Uに等しい。 F4x=U'-U=Q24x F= Q² 2Cd 2Cd 極板間の引力の大きさは,極板を引きはなす ときに加える力の大きさFと等しい。 (1) (注) 真空の誘電率を so, 極板の面積をSとする。 C = S/d から,Cd=Sであり、力の大きさ Q2/(2Cd) はQ2/(2S) と表される。 Q, S, E は極板間隔が変化しても一定であるから,極板 間の引力は一定となる。

ε-δ論法による証明がわかりません。 (1)の波線部の不等式がどこから出てくるのか教えていただきたいです。 ε/2Mというのはどこから出てきたんですか？

基本例題031-8 論法による基本定理の証明 下の指針の定理について, 以下の問いに答えよ。 (1) 下の, 関数の極限の性質の [2], および [3] を,e-8 論法を用いて証明せよ。 (2) 下,合成関数の極限をe-8 論法を用いて証明せよ。 指針定理関数の極限の性質(スロー(x)=(x)ノー 関数 f(x), g(x) および実数 α について, limf(x)=a, limg(x) =β とする。 [1] lim{kf(x) +1g(x)}=ka+1β (k, lは定数) x→a x→a [2] limf(x)g(x)=aB [the lim (1/(x) 定理 合成関数の極限 4179744571 x→a x→b YOU 関数 f(x), g(x) について, limf(x)=b, limg(x)=αとし, g(x)はx=6で連続とする。 このとき,合成関数 (gf) (x) について, lim (gf) (x)=α が成り立つ。会場 x→a x→a x→a x→a xx→a [3] lim x→a f(x) a g(x) B E-8 論法による証明であるから、 「 e を任意の正の実数とする」から始める。そして,これに 対応するの値を検討する。 次のような方針で証明を進める。 f(x) (1) 1 1 の極限を求める問題は、f(x) x- g(x) として g(x) g(x) る。 関数の値と極限値との差の絶対値を評価し,途中でどのような仮定が必要になるかを考 05.10 える｡ So I had lot (2) 合成関数g (f(x)) の値を g (f(a)) に近づけるには,gの中にある f(x) をどの範囲で x→a == (ただし,β≠0) eを任意の正の実数とする。 limf(x) =α であるから, ある正の実数品。 が存在して, ()+6011-5 0<|x-a|<品。 であるすべてのxについて|f(x)-α|<s が f(a) に近づければよいかを考え,それに応じてxをどの範囲でαに近づけるか考える。 1o C (+18 解答 (1) 性質 [2] の証明 成り立つ。このとき,α-e<f(x)<α+ であるから |f(x)|≦max{|a-el, |a+c|} S3A/ ここで,M=max{|α-el, |α+el, |β|} とおく。 e≠0 より |a-el, late | の少なくとも一方は0でない から M>0 limf(x) =α であるから,ある正の実数 Ô が存在して E 0<|x-a|<ふであるすべてのxについて|f(x)-al< AMICIAS が成り立つ。 limg(x) =βであるから、 ある正の実数 82 が存在して 1 B を示す問題に帰着させ e-8 論法による証明の 開始。 Jel 4

1+cosx=tで置換したのですが、上手く答えが合わなかったので解ける方お願いします🙏

! 積 から 基本例題223 三角関数の不定積分 (2) 2 | 次の不定積分を求めよ。 の来ま sinx-sinx (1) 1+cos x (1) PALETI 1 (2) 指針▷ 被積分関数が f (cosx) sinx, f (sinx) cosxの形に変形 cosx=t, sinx=t とおくことにより, 不定積分を計算す sinx dx sinx sinx−sin3x (1-sin²x)sinx__cos²x 1+cos x == = == dx a =S₁ 1 2 sinx _ sin²x sinx sin²x 解答 I cosx=t とおくと, -sinxdx=dt であるから sinx−sin3x 1+cos x dx = S ₁ ² 1+cosx +t-log/1+t+C +)dt --~√(1-1+_+_ )a²0= -——+1-10g|1+11+C 29 -cosx+cosx−log(1+cosx)+C@ 1+cosx 1 1-cos²x 42 cosx=t とおくと, -sinxdx=dt であるから -dx=S₁² (2) S dx sinx sinx sinx dx 1-cos²x 1+cosx cos²x sinxdx=-S₁+dt 1 dt sinx

y=logxの第ｎ次導関数を教えてください。答えは書いてる通りです

J.loge nok (-1)^(^~!)! In

フランス革命のところです！ なぜジロンド派はオーストリアに宣戦するんですか？ いきなりオーストリアがでてきて戸惑ってます💧 どなたかここでのオーストリアとの関係を教えてください！😿

を贈っているシーン。 自分の 「宣言｣ ルイ16世のマリーアントワネットの実象みる 国家がオーストリアへの逃亡→失敗 ンヌ逃亡事件であった。 この事件によって,国王に対する国民の信 失われ、外国によって支援された反革命を恐れる心理がひろまった。 Assemblée législative (日国株 _91年憲法にもとづき1791年10月に発足した立法議会では、立憲君 国いただか Feuillants Girondins 義者のフイヤン派が右派を,共和主義者で多数派のシロンド濡がた 国いらない既げようとしない 構成した。 1792年春にはジロンド派主導の内閣が成立し、革命に反対 左側の議 の議席を いたため, オーストリアに宣戦して対外戦争を開始した。 しかし, 緒戦におけ 左派,保 D ランス軍の敗北は国王や将校の裏切りのせいだと考えられ、世論に なった。 るようしに ます国王に敵対的となった。 こうしてオーストリア・プロイセン 侵入の危機がせまるなか, パリの民衆はマルセイユなどからきた LESQUETTE DER VER Fulerics 1101のフランス国ない殿◎ 一様に力ないから国によえてもんだよ!! Convention とともにテュイルリ宮殿を占領し、王権は停止された (8月10日事 国玉を逮捕する 革命政府と 議会は権を停止して解散 恐怖政治 anl 1792年9月に新憲法を制定するための国民 だちに王政 して、最後はギロチンに かちょう ⇒わたって家長の支配のもとにおくことになった。 義勇兵が イエーズ」 第三共和 なった。 h 輪車 などが証 長さや重 王政や るいっ シンボル れた方言 こうし 派と右派 する公安 た。しか め, 1794 総裁政府 統領政府 そうさん 人の総裁 がめざさ Babeuf

画像見づらいですが教えてほしいです これは区間(a,b)がありそれに+1/nをしたものを極限に飛ばしたということですか？ それとも(a+1/n.b+1/n)を極限に飛ばすイメージですか？ 自分は1/n=0で(a,b)になると思いました

区間の極限は“空” となってしまう!! a be (a < b) とするとき, 以下が成り立つことを証明せよ。 lim (a, b + =/ ) = (a, b) n→∞

広義積分です。 ε→+0、ε'→+0になる理由が分かりません。 変数xがaより大きい値を取りながらaに近づくことを x→a+0(とくにx→0+0をx→+0) 変数xがaより小さい値を取りながらaに近づくことを x→a-0(とくにx→0-0をx→-0) なので図から-1... 続きを読む

J Tた2 dx -ズ T-ス は 父こエで不連続 E,Eっまうに別の記与を使り O -1+を 1-E 1-81 dx da T-ズ im と→+0 -1+を ダ→+0 1-E Jim 「Sin2]4を E→+0 ど→+D Jim. foin'(-)-おin"(-1+@)子 0+c3 sin"1- sin' (-) Tπ ニ 2 π 1

7番が足りないので分かる方いたら教えてください！

Date (5

ε-N論法が分かりません。Nはどんな役割をするのですか？N>…,n≧Nを使う意味が分かりません。ページの例題を使ってわかりやすく教えて欲しいです。

●数列と関数の種用 ●r-N論法で、数列の極限を攻略しよう! 投川 a,が与えられたとき、その極限lima, の題は高校でも既に勉 る 強しているね。でも,数列{a}が極限値caをとることを示す厳密な証明 よ-N論法をマスターする必要があるんだよ。 法として,大学の数学では、 (*イブシロン,エスろんぼう"と読む まず、この-N論法”を下に示す。 -N論法 正の数をどんなに小さくしても,ある自然数Nが存在して、 がn2Nならば、la,-a|<e となるとき、 lim a,=a となる。 → 0 の がけでは、なんのことかわからないって?当然だね。ここは、大学 A の政学を勉強する上で,みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧 に、 に話すよ。 この意味は,正の実数eを小さな値,たとえば,=0.001にとったとし と ても,ある自然数Nが存在して,数列a, a2, …, axN-1, ax, ax+1, のうち、 理 nENのもの,すなわち an, av+1,…に対して,a との差|a@-al が, 埋 E=0.001 より小さく押さえられる,と言っているんだね。 集 ここで,正の実数eは連続性と潤密(ちゅうみつ)性をもつので、これ を限りなく0に近づけていくことができる。それでも,あるNが存在して、 と と 1ZNをみたす a, について, |a,-a|<eが成り立つといっているわけだか 2, 1→00のとき,a,はaに限りなく近づいて lim a,=a と言えるわけ だね。納得いった? → 00 でれでは,例題でさらに具体的に解説しよう。一般項a,が 4,=-」 (n=1, 2, 3, …)で与えられたとき,この極限を次のように求 n+1 りるやり方が,高校までの手法だったんだね。 13 L