準
nを3以上の自然数とするとき, 不等式 4"> 8n+1
CHART
(A)を証明せよ。
すべての≧で成り立つことの証明
GUIDE
HART
[1] 出発点 n=
のときを証明
生
[2]n=k(k≧) のときを仮定し, n=k+1のときを証明
本問では「n≧3 のとき」という条件であるから,まず,n=3のとき不等式が成り立つ
ことを証明する。なお、n=k+1のとき示すべき不等式は 4'+'>8(k+1)+1である。
不等式A>B を示す代わりに A-B>0 を示す。
|答
[1] n=3のとき
(左辺) =4=64,
(右辺) =8・3+1=25
よって, n=3のとき, (A)が成り立つ。
[2] k≧3 として, n=k のとき (A) が成り立つ,すなわち
4k8k+1
川
<64>2503
「3」を忘れずに。
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの(A) の両辺の差を考えると
4+1_{8(k+1)+1}=4・4-(8k+9)
48+1)-(8k+9)
=24k-5>0
←
k≧3から。
すなわち 4k+1 > 8(k+1)+1
よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
◆ここで上の仮定
4>8k+1
を活用。
40 であるから
4>8k+1
)
の両辺に4を掛けても、
[1], [2] から, 3以上のすべての自然数nについて(A)が成り不等号の向きは変わらな
立つ。
Lecture 出発点を変えた数学的帰納法大
「nが自然数のとき」ではなく、 「n≧m のとき」のような, ある特定の数以上のすべての自
然数について成り立つことを証明するには,出発点を変えた数学的帰納法を利用する。 その手順
は、次の通りである。
の場合、例題 26 での数学的帰納法。
[1] n=m のときを示す。
←m=1の場合が,
[2]n=k(ただし, k≧m) のときを仮定して, n=k+1 のときを示す。
注意 上の例題で n=1, 2 のとき, 4”は順に4, 16, 8n+1は順に 9, 17であり,
4">8n+1 は成り立たない。よって,機械的に「n=1 のとき,不等式は成り立つ。」など
と答案に書かないようにしよう。
