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里要例題 83 折れ線の長さの最小 長の
A(2, 5), B(9, 0) とするとき, 直線 x+y=5 上に点Pをとり, AP+PB を
最小にする点Pの座標を求めよ。
【日本獣畜大)
基本 79
CHARTOSOLUTION
MOITUJON TEAR
折れ線の問題には 線対称移動
直線2:x+y==5 に関して2点 A, Bが同じ側にあるから考えにくい。
そこで,直線に関してAと対称な点A'をとると
AP+PB=AP+PB2AB
等号が成り立つのは, 3点A', P, Bが一直線上にあるときである。…
ゆえに,直線と直線 A'B の交点が求める点Pである。
解答)
2点A,Bは直線2に関して同じ側にある。
直線:x+y=5-
関してAと対称な点をA'(a, b)
とする。
介直線2に関して点Pと
点Qが対称→
[1] PQIl 9
[2] 線分 PQの中点が
直線上にある
0に
AQ.5)
5
AA'1l から
P。
b-5.(-1)=-1
*直線AA'はx軸に垂直
ではないから aキ2
垂直→傾きの積が -1
B
9
a-2
2
5
x
よって
a-b=-3
e
線分 AA'の中点が直線上にあ
めよ
電大)
2+a
5+6
=5
2
るから
2
よって
a+b=3
3
の, 3を解いて
このとき
「よって, 3点A', P, Bが一直線上にあるとき, AP+PB は最
小になる。
たのときめ店
全線分 AA'の垂直二等分
線上の点は,2点A, A'
から等距離にある。
よって AP=A'P
*2点A', B間の最短経
路は,2点を結ぶ線分
A'Bである。
a=0, b=3
ゆえに
A'(0, 3)
AP+PB=A'P+PB>A'B
直線A'Bの方程式は +=1 すなわち x+3y=9 …④
9'3
直線 A'B と直線lの交点をPoとすると, その座標は
の, のを解いて
したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は
x=3, y=2 をゆえに
Po(3, 2)
小景
(3, 2)
点を選る。
