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重要 例題 83
垂線の長さの最小の方
放物線 y=x2
① と直線 y=x-1
放物線 ①との距離が最小となる点の座標と,その距離の最小値を求めよ。
・② がある。 直線 ② 上の点で、
00000
[類 中央大 ]
p.121 基本事項 7
基本 72
CHART & SOLUTION
点(x1,y'ì) と直線 ax+by+c=0 の距離
ax+by+cl
√a²+b²
放物線 ①上の点をP(t, t2) として、点Pと直線 ② の距離が最小となる の値を求める
解答
放物線 ①上の点をP(t, t2) とし,
①
(2)
Pから直線②に引いた垂線を
|t-1-1|_|t-t+1|
(t, f²)
PH とすると
PH=
√12+(-1)2
√2
x
3
t
-1,
P
=
3/2
+
8
3√2
よって、PHは t=1/2で最小値 をとる。
t=/1/2 のとき, P (12/1/1) であるから,直線PH の方程式は
11/12 (12/21) すなわち 4x+4y-30... ③
x
点は,直線②上の点でもあるから,その座標を求めると
② ③ を解いて
x=
7
8'
1
y=-
8
したがって, 求める点の座標は
(7
8' 8/
また,距離の最小値は
3√2
8
x1 から
x-y-1=0
2次式は基本形に変形
t2- t+1
=(1/2)-(1/2)+1
=(-1/2)+14/0
よって, t-t+1>0 で
あるから, 絶対値記号が
そのままはずせる。
←PH⊥直線 ② により,
直線PH の傾きは 1
②③に代入して
4x+4(x-1)-3=0
よって8x=7
int 直線 ② に平行な直線
y=x+k が放物線 ①に接
するときの接点が(12/11)
である。
Ex
A 7
