写真の9-1(1)は非同次微分方程式y=2y'x+x²(y')⁴についてですが、 g(x,p,C)=0というパラメーター表示をするために(Cを式に含めるために) 2xy'+p=0に注目して、x=C/p²というパラメータ表示を得てますが、もうひとつの解てある、1+2xp²=0... 続きを読む

第9回演習問題 解答 (2xp'1p+4x²pp tapt) 9-1.(1) p=yとおいて両辺をで微分して整理すると (以下同様)、(1+2cp^) (2xp+p) = 0. da 2 • 2xp' + p = 0. と変形して、 log||=-2log|p|+Cより、π= よって dp P C y = 2xp+ x²p4, x = p2 というpによるパラメータ表示を得る。 3 ・1+2xp=0.p=-(2)-1/3より、y=- (2x)2/3 (2) p=p'x+2+p+2pp' b. dx == 1 dp 2 y = (2+p)x+p², -p (1階線形)。 これを解いて、 x=-2p+4+ Ce¯P/2. (3) (x- e³)p' = 0. • p=0. p= Cb, y=Cxec. • xe = 0. p = log x, y = x logx - x. (4) p = p²+2(x-1)pp' ). (2(x-1)p' + p − 1)p = 0. dx • 2(x − 1)p' + p − 1 = 0, p 1. 2(x-1) より、 dp p-1 C y= (x 1)p², x = +1. 1)2 • p= 1. y=x - 1. • p=0. y = 0. dx log p+1 (5) p = (logp+1)p'より、 を解いて、 dp P (6) (1+xp²)p' = 0. y = plogp - 1, p = 0. p=C), y = Cx-C-1. x = (log p+1)²+C. 1 •1+xp² = 0. y = xp --, 1 x = -- P p2 9-2. (1) y = sinht, y' = cosht とパラメータ表示すると、 Y = cosht- dt dx =coshtより、 dt dx = 1. つまり、t=æ+C. よって一般解はy=sinh (π+C). (2) (y-y) (y+2y) = 0. • y' - y = 0. y = Ce y' +2y= 0. y = Ce-2x dt (3) y = acost, y = bsint とパラメータ表示すると、y=bcostu = a cost. ⚫ cost # 0. dt dx a より、t=q+C.よって一般解はy=bsin (u+C) ⚫ cost = 0. sint = ±1, y = ±b.

dxsinθ＝rdθになるのはなぜですか？

り、 さによる電流の磁界 6.3.1 直線電流による磁界 つれる。 からa [m] だけ離れた点Pの磁界の磁束密度を求めよう.この電流の微小部分 dat 図6.11 に示す有限長の直線電流 AB に電流I [A] が流れているとき、この直 点Pにつくる磁束密度は,ビオーサバールの法則から 4πr2 = dB Mo I desin (0) Mo I dx sin O = となる. 4πr2 直であって、紙面の表から裏に向いている. したがって, 全電流による磁束密度に dx 部分による磁束密度は右ねじの回転方向で, dæ の位置によらずつねに紙面に 式 (6.5) による微小部分の磁束密度を電流全体について加えることによってつきの うに求められる. 12 11 I dx 08 A do E 1 P a 中2 dB B 図6.11 直線電流による磁界

4（2)の積分で まず、置換せずに解こうとしていたのですが、積分計算をどう進めたら良いか分からなかったです。なので1つ目に、この場合の（写真)計算の仕方教えて欲しいです そして、計算ができなかったため、置換をしてとこうと思い、写真のように置換しました。 ここで2つ目、解... 続きを読む

(-) y≤ -x+1 0 0 ≤x≤1 (0) y Les day bx ys St-y (2) back. The sezo #20, 5220. S≤1 + yo se どうする? 黒検みよう!! 20x 26541 161=1/ 68281

1枚目の、線を引いているところがなぜそうなるのかわからないです💦 分かる方教えてください🙇‍♀️

例えば,P(0≦Z≦u)=0.4881 のとき, 正規分布表から, u=2.26 ●表の白色部分に書かれた数字から, 0.4881 を探し, 表 の青色部分に書かれた数字から, uを読み取ればよい 解答 EX_160)= (x=160) = 0 (x) (1) 平均 E(X)=160, 標準偏差 (X)=5 より 0)=EX)-160_160-160 5 5 =0 171 5 (X)=-1 5 173 5 (2)Xは正規分布 N (160, 52) に従う. 【X が正規分布 N (m, 2) X-m に従うとき,Z== X-160 Z= とおいて Xを標準化すると, 0 5 とおき X を標準化し, 正規分布表を使える土台を 作る ZはN(0, 1) に従う. P(Z≧u)≦0.1 となる最小のuは,u≧0 の範囲にある. 正規分布曲線より。 P(Z≧u)=0.5-P(0≦Z≦u) であるから, P(Zu)≤0.1 P(0≤ Z ≤u) ≥0.4 これを満たす最小のは,正規分布表より u=1.29 X-160 Z≧1.29 であるから ≧1.29 5 y 0 表の白色部分に書かれた数 字から, 0.4000 以上になる 最小の数を探し,表の青色 部分に書かれた数字から, 最小のuを読み取ればよい

3)を解いてみたのですが計算方法が合ってるか分かりません。 おそらく与式は2枚目のようになると思います。 2)の解答に自信はないですが以下の通りです。 A1=0，A2=1/2,B1=1/2,B2=1,C1(u)=u, C2(u)=1-u また、2)についてもし間違いがあれば... 続きを読む

S1. n を自然数x,yを実変数として,以下の設問に答えよ. 1) 式 (S1.1) を用いて, 式 (S1.2) の広義積分Iを無限級数で表すことを考える. この無限級数の第n項 αm を求めよ. -* (|| < 1) (S1.1) n=0 1 = = L L 1 1 dady=Σa (S1.2) 10 - xy n=1 2) 式 (S12)のIを(x,y)= (u-vu+g) で変数変換をしたうえで, 式 (S1.3) の ようにL, I2に分解する. ただし, 式 (S1.3) は式 (S14), S1.5), (S1.6) を満 たす.このとき,下式の A1, B1, Ci (u), A2, B2, C2(u), Dにあてはまる定数ま たは関数をそれぞれ答えよ. ただし, A1 A2 とする. I=h+I2 (S1.3) ・Bi ·C₁(u) = - AL B2 g(u, v)dv du (S1.4) 0 C2 (1) = g(u, v)dv du tv) du (S1.5) (S1.6) I2 g(u,v) = 0 D 1-2 +02 3)問2) のの値を求めよ. 必要ならば, 式 (S1.7), (S1.8) を用いてよい。 d = dx 1 (arctanz) (S1.7) 1+α2 1 (|x| < 1) (S1.8) 1-2-0-8(1+3) (1-22) (1 4)問2)の12の値を求めよ. 必要ならば, 式 (S1.7), (S1.8), (S1.9) を用いて よい. 1- cos x tan sin a 2-2 I (sinz≠0) 5) 式 (S1.2) の無限級数の和を求めよ. (S1.9)

微分方程式について質問です！ 　(2)の解説で、不定積分の任意定数が全て省略されている理由はなんですか。積分定数がまとめられる場合は一つにまとめて良いと思いますが、今回の問題でどうやって省略しているのか検討が付きません。また、最後から２行目の1/xの積分で、xの符号が不明な... 続きを読む

1 (1) 次の線形非同次微分方程式 dy +P(x)y=Q(x) の一般解は dx y=e-fp(x)dx yes rod (SQ(x)dx+c) して、 で与えられることを示せ。 ただし, P(x), Q(x) は x の連続関数であり, cは任 意の定数である。 (2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。 dy X- -y=x(1+2x2) dx (3)適切な変数変換を利用して、次の微分方程式の一般解を求めよ。 さらに, x=1のときy=1 となるような解を求めよ。 dy y logx dx 2x = 2x y3 〈九州大学工学部〉

先生が答えをくれません。 一応自分なりの答えは出したのですが、数学(計算も)あまり得意ではなく、自身がありません。 模範解答を作成していただきたく、質問を作成させていただきました。 何卒宜しくお願い致します。

No5 1. 次の積分を指示された変数変換により、 書き改め、 その値を計算せよ. (1) ( 極座標) x² + y² <1 (2) [[_24,²<«« (x² + y²)¾dxdy ( 極座標) 2+y2 Sar No6 1. 次の集合 D の写像 f による像 f (D) の概形を示し,その面積を求めよ. (1) D={(x,y)|0≦x,y≧1}, f(x,y)=(x+y^2-y) (2) D={(x,y)|0≤x,y≧1}, f(x,y)=(x^2+y^2-x) 2.rarcosm0, y = brsin" 0 の形の座標変換のヤコビ行列、ヤコビアンを求めよ. こ こで, a,b は定数 は自然数とする. 3. 次の積分を指示された変数変換を用いて、 書き表し、その値を求めよ. II エ drdy, (x0,y0,z = rcos40,y=rsin40), ただしD={(x,y) |√ + V≤1}とする. No8 1. 次の平面図形の形状をもつ密度一定の板の重心を求めよ. (1) 半径αの四分円 (2) 曲線 22 cos 20 が囲む有界図形 (3) 半径α中心角の扇型 2. 次の積分を指示された変数変換により、 書き改め、 その値を計算せよ. (1) 2+²+²drdydz (円柱座標) (2) JJJ2+2+25 2drdydz y² +²<1 (空間極座標 )

置き換えを用いた変数分離形の問題です。次の微分方程式に対して, u = y/x と変数変換して, 一般解と初期条件を満たす特解 を求めよ. ただし, x, y > 0 とする. という問題です。誰か解説をお願いします。

dy dx = 2 y² x(x+y) Y(0) =0

編入数学徹底研究の151ページについて質問です。 固有値、固有ベクトルを求めたあとに、正規直行化を行っています。しかし、(3 0) (0 2)の部分はわざわざ正規直行化をしなくても、固有値が分かれ... 続きを読む

例題13-4 (2次形式) 次の2次形式の標準形を求めよ。 標準形に書き直すことができる。 [解説] 2次形式 'xAx は適当な直交行列P による変数変換x=Pyによって, 解答 Q(x,y)=2x²-4xy-y²=(xy) ^= (-²2-²³) -1 行列 A の固有値を求めると, 32 2次形式の行列は,A= これはただちに正規直交化できて, 2 √5 b₁ = 固有値 3, -2 に対する固有ベクトルとして, a1=1 ////////// a₁ Tail そこで,P=(bb2)= ここで, Q(x,y)=2x²-4xy-y² 1 2 +/- (-²) 類題13-4 5 2 √√5 √5 1 2 15 √5 (3-2) = (X_Y) とおくと, -2 =²) (*) ** 3)(3) b2 次の2次形式の標準形を求めよ。 Q(x, y, -2 このとき. Q(x,y)=(xy) A(x) - (-2)-(2) か? Pは直交行列で, 'PAP= X (*) - P (4) ( * )= ( x ) ²³ 'P £>T, Q(x, y)=(x _y)A(*)=(X_Y) PAP(X) a2 1 |az| X » (³-2)(x)= = とおくと, より, √5 - (2) - z)=5x²+y²+z²+2xy+6yz+2zx 151 がとれる。 1 √5 2 √5 =3X2-2Y?･･･ 〔答〕 :: (x y)=(X_Y)'P 解答は p.263

例4.28について質問です。(1)のfx^2＋fy^2＝、、の式までは分かっているのですがそこからいきなり(2)のラプラシアンの式がどうやって出るのかわからないです。どうか教えてください。

19:06 3/3 変数変換を学んだついでに 4.2.7. 変数変換におけるラプラシアンの表示. : 全単射, C2-級, = -1 とする. 関数 f(x) : D → R, g(s) : UR は f(x)=g(y(z)) = g(s) = f (d(s)) をみたしているとする. [5]. f(x,y) = √√√x² + y² = r = g(r,0). (**) of fi = oni, dxi ga = asa のように書く. 添字の,上下, 文字スタイルで区別がある. ここでは∇f = (....fi....), ∇sg = (..., ga,...) は行ベクトル . 逆写像のヤコビ行列は Þ : ((R”, s = (… .., sª,...) > ) U → D ( C (R¹, x = (..., x², ...))) となる.このとき連鎖律より次の関係式が得られる. f(x) = g(s(x)) * x³ THALT, fi = Σa ga$iº. & 5K füi = Σa ((Σ3 9aß$?) sº + 9asi). B (1) ▽zf = ∇sg.d.同様に∇sg = ∇f.do. (2) Axf := Σi fü = Σa‚ß Jaß(Vrsª, ▼+$³) + Σa 9aArsª. 2² 8² Ər² 20² 9回目終わり 例 4.2.8. R2 の極座標でのラプラシアンの表示 重 : UC (R2, (1,0)) → DC (R2, (x,y)), I = 重-1 πr TO cos -r sin 0 d = Yr yo sin 0 rcos o TI Ty cos o sin 1 T dy = = (d)-1 200 - sine cose) == (-²2) r 注: r = x2 +¥2,0 = tan -1 y の微分はしなくても煙は求められる. I (1) (fæ, fy) = (gr,90) · dV. (fz, fy) = (gr, ¼90) U, U = (- 特に fz + f = g + /1/129. 注: d では1列+2列 (1 行 ⊥2 行ではない). d では 1行2行 (1列+2列ではない). 8² a2 8² 12 10 + + + əx² 042 Ər² r² 20² rar + はそもそも考えない. d = (st) at (= (dd) -1): 第α行を ▽ zsa とする行列 lai (4) A = + U= 問題. R3 の極座標でのラプラシアンの表示. (x,y,z)=d(r,0,4)= (rsin A cos o, r sin A sin p, rcos E ↓ = Φ-1 とする. (1) d = (dd) を求めよ. (2) (fx,fu, fz) = (gr, 1,90, sin694) U, Uは直交行列, と書けることを示せ . cos 0 (3) Ar = ², A0 = A = 0 を示せ . r2 sin 0 8² 182 + Ər-2 2002 / sin A cos y sin A sin y cos A cos o cos A sin - siny cos 1 2 20 cos a + rar r2 sin 000 cos o sin 0 sino cos0 72 sin20042 cos 0 - sin 0 0 は直交行列と書ける. を示せ. | .d=Uの2行目に !を3行目に • itc-lms.ecc.u-tokyo.ac.jp 3 rsin 0 を掛けたもの. Ć