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重要 例題17
1の5乗根の利用
複素数 α(αキ1)を1の5乗根とする。
35
(4) a=1であるから,k=1, 2, 3, 4, 5に対して
が成り立つ。
4(3)のaと同じ値。 α+1
(1)~ (3) 金称、
学習ア
全例題
数学I
1
=0 であることを示せ。 本
YA
よって、a*(k=1, 2, 3, 4, 5) は方程式z*=1の解である。
ここで、a, a", α", α', α* (=1)は互いに異なるから,5次
方程式2-1=0の異なる5個の解である。
ゆえに、
すなわち 2-1=(z-1)(z-a)(z-a")(z-α')(zla')と
因数分解できる。 2-1=(z-1)(z'+z°+z°+z+1) である
(z-a)(z-a")(z-a')(z-α')=z*+z+z+z+1
(1)を利用して、t=«+aはピ+t-1=0 を満たすことを示せ。
(2)を利用して, cos元の値を求めよ。
友 1V
2-1=(z-a)(z-α")(z-a')(z-a')(zlc')
ェ+isin ェとするとき,(1-α)(1-α")(1-α°)(1-α')=5であ)
の
注意 一般に、n次方程式は
n個の解をもつ。
1章
数研 Lil
ことを示せ。
3
から
(1-a)(1-a)(1-)(1-α')=5
ほかに
スマート
対応
ド
両辺にz=1を代入して
4a=1と(1)で導いた
*++q°+a+1=0を利
用する。
指針> (1) aは1の5乗根一→ =1→(α-1)(α*+α°+α*+a+1)=0
阿(与式)=(1-a)(1-a')×(1-a)(1-a)
基本 15
=(1-a-a+a)(1-α'-α'+a)
=(2-(a+a)}{2-(a'+«)}
=2-(a+a°+α'+a)·2+α°+a^+a"+a?
=4-(-1)-2+a+a'+a+a=6-1=5
く
(2) a=1から, la|=1 すなわち aa=1が導かれるから,かくれた条件α=- を利
(3) a=cos-
ニェ+isinそェとすると, aは1の5乗根の1つ。t=a+āを考え,(2)の組
α
果を利用 する。
(4) =1を利用して, α* (k=1, 2, 3, 4, 5)が方程式 z=1の異なる5個の解である
ことを示す。これが示されるとき,2°-1=(z-a)(z-α")(z-α")(z-a')(z-a') が成
り立つことを利用する。
検討)重要例題17(4) に関する一般化
重要例題17(4)に関する考察は,一般の場合でも同様である。
2π tisin
- (1-a)(1-a)(1-α')(1-α') に似た形、
1のn乗根の1つをα=cos-
とすると、
n
2。
a, a", ……, a"-", α" (=1) はすべて互いに異なり、
1SkSnである自然数kに対して(α^)"=(α")*=1*=1 であるか
ら、1, a, α", …, α"-1は n次方程式2"-1=0 の解である。
よって、z"-1=(z-1)(z-a)(z-α). (2-a"-1)と因数分解で
きる。
一方,2"-1=(z-1)(2"-1+2"-2+……2+1)であるから、恒等式
解答
0
(1) a=1から
-1=0
αキ1であるから
α*+a°+a?+a+1=0
一般に
書の
両辺を a(キ0)で割ると
1
;=0
a?
Q
ート
(2) α=1 から
laパ=1
le
la|=1
[n は自然数]が成り立つ。
この恒等式は,初項1,公比
2, 項数nの等比数列の和
よって
動
が成り立つ。両辺に z=1を代入すると
学
ゆえに
laf=1 すなわち αa=1
よって =-
4(右辺)=1×n
更に,両辺の絶対値をとると、|zizal=|z||2za| に注意して
|1-a||1-a|… 11-α"-1|=n 0
ここで、P(a*) (k=0, 1, ……, n-1)とすると、|1-a^|は線分
P.P。の長さに等しいから, ① は
を考えることで導かれる。
2+t-1=(α+@)。+(α+a)-1
=α"+α+2aa-1+(ā)°+ā
1
ゆえに
P(a)|1 P(a)
P(a)。
A(a+a)
=+2aa+(a)
4(1)の結果を利用。
P(a)
\1x
=a"+a+2-1+ニ+ー-0
P.P,×P.P2×…×P.Pa-1デn
0
2
π十isin 元とすると,αはα'=1,αキ1 を満たす。 4a'=cos2x+isin2x=1
したがって,Oから次のことがわかる。
(3) α=COS -
半径1の円に内接する正n角形の1つの頂点から
他の頂点に引いた線分の長さの積はnに等しい。
このとき -cォーsing
2
"COS-
-isin-
よって,=α+α とすると!=2cos 元であり, (2) から
+t-1=0が満たされる。
Aa+a=2×(aの実部)
練習
複素数 α=cosーェ+isin 元に対して
17
-1土/1°-4·1·(-1)
-1±15
(1)(ア) α+α'+α"+α'+α°+α°
イ)
1-e'1-
+t-1=0の解は t=
2
の値を求めよ。
2
2Os 2カ= 5-1
4
(p.40 EX18。
-1+15
1ar
(2) t=a+aとするとき, ピ+ピ-2tの値を求めよ。
t>0であるから t=2cos
π=
5
ゆえに cos
2
