124 面積(5) ~微分・積分のまとめ~
座標平面上に曲線 C:y=x²-4x+8がある.
(1) C上の点A (1, 5) における接線の方程式を求めよ .
(2) Cと1で囲まれる部分の面積Sを求めよ.
解答
(1) f(x)=x²-4x+8 とすると, f'(x)=3x2-4 である.
点A(1,5)における接線は,f'(1)=-1より,
y-5=(-1)(x-1)
.. y=-x+6
(2) Cとlの共有点の座標は,連立方程式
|y=x²-4x+8
...(1)
|y=-x+6
の解である.②を①に代入すると
x3-4x+8=-x+6
x3-3x+2=0
(x+2)(x-1)2=0
+O+BA-50
4
= S'₁(x²³-3x+2)dx= [ 1x¹__3x²+2x
3
5
(−2)
(城西大)
35-45
2<x<1において,て
線分ABを2:3に
635
*=-2, 1
x+2>0, (x-1)2>0であるから,
よって, Cとは右の図のようになっている. (x+2)(x-1)^>0である.
求める面積をSとすると,
つまり,
&&S=S₁₂1(x³-4x+8)−(−x+6) | dx
A
0 1
TERASA
044-
] ₁
3
=(1/12/+2)-1/12/16-12/24+2(-2)} = 0 - (-6)= 27
·16·
4
x²-3x+2>0 A
x-4x+8>-x+6
ると、
となるから, y=x4x+8は,
y=-x+6より上にある
解説講義
ここまで本書を使ってがんばってきた皆さんには,本番で確実に得点してほしい総合問題
である. 本間で再確認すべき内容は次の3つである. 3次式の積分になるので、計算ミスに
も十分に注意しよう.
(i) 接線は110 で勉強したように y-f (t)=f'(t) (x-t) を用いる
の曲線(あるいは直線) の共有点は連立方程式の解を求めればよい
