6 第6章 積分法の応用
Think
例題183
面積の最小値
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関数 y=logx で表される曲線をCとする. C上の2定点A(1, 0)
Be, 1) と, C上の動点P(t, logt) (1<t <e) がある. 線分AP と曲線
Cで囲まれた図形の面積を S,, 線分 PB と曲線 C で囲まれた図形の面積を
S2 とする. S+S2の最小値とそのときの値を求めよ.
[考え方 グラフをかいて考える
(大阪教育大)
y=logx|
B
P
y
そのときの値の範囲 (1<t<e) に注意する.
S=S+S は tの関数になるので, S を tで微分するこ
とにより, 最小値を求める.
log t
A
QR
O
1
te
I
解答
図をかくと、右のようになり、Sは,
A
B
P.
44 (2)
となっている.
S=S+S2 とすると, 右上の図より
s=logxdx-12(t-1)logt-12(e-t)(1+logt)
= [xlogx-x-12((t-1)+(e-togt-1/2(e-t)
(e-1)logt (e-t)
=e-e-(0-1)-
1)-(-1)
=-1/2(e-1)logt+/12/12+1
e-1
したがって,
S'=
+
2t
e|21|2
t-(e-1)
P
4ogt;
AS
logt: 三角形
B
P
log t
台形
Q
R
Slogxdx
=xl0gx-fds
2t
=xlogx-x+C
S' = 0 とすると, t=e-1
Sの増減表は次のようになる.
t
1
e-1
e
S'
0 +
S
極小
7
よって, Sの最小値は,
t=e-1のとき. 01/21/12(e-1)10g
(e-1) log (e-1)
練習
183 を通るとき, 曲線 y=f(x) とx軸とで囲まれる部分の面積Sの最小値とその
>0,0<a<1 のとき,f(x)=mx(ax-1)^ とおく. 曲線 y=f(x) 点 (1.1)
***
ときのαの値を求めよ.
(大同大改) p.426
