D000
指針yn)は、, yの第n次導関数 のことである。 そして, 自然数nについての問題であるから
4v)=2*+1 cos(2x+)
例題157 第n次導関数を求めるリ
nを自然数とする。
(1) y=sin2x のとき, y"=D2"sin(2x+
)であることを証明せよ。
2
(2) y=x"の第n次導関数を求めよ。
重要158, p.271参考事項。
p.265 基本事項 [1]
指針 y)は、yの第n次導関数 のことである。そして, 自然数nについての問題であ。
自然数nの問題 数学的帰納法で証明 の方針で進める。
(2)では、n=1, 2, 3の場合を調べてym) を推測 し, 数学的帰納法で証明する。
注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学 B)
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
[2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。
0
|解答
K1) ym=2"sin(2x+12)
0とする。
[1] n=1のとき ゾ=2cos2x=2sin(2x+-)
2
π
であるから,①は成り立つ。
[2] n=kのとき,① が成り立っと仮定すると
y(k)=2* sin(2x+
2
n=k+1のときを考えると,② の両辺をxで微分して
d
-y (k)=2*+1 cos(2x
kr
dx
2
kπ
v(k+1)=2k+1sin(2x+
π
=2を+1sin{2x+
2
…sinf2x+ (&t]
+1)元
ゆえに
2
2
よって, n=k+1のときも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
