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279
5章
31
対数関数
基本 例題 178 対数不等式の解法
次の不等式を解け。
(1) logo.3(2-x)≧logo.3(3x+14)
(3)(10g2x210g24x>0
00000
(2) log2(x-2)<1+log/(x-4)
[(2) 神戸薬大, (3) 福島大]
●基本 176 177
重要 179
指針対数に変数を含む不等式 (対数不等式) も, 方程式と同じ方針で進める
答
まず, 真数>0 と, (底に文字があれば) 底> 0, 底1 の条件を確認し、変形して
loga A <loga B などの形を導く。 しかし, その後は
a>1のとき loga A <loga B⇔A<B 大小一致
0<a<1のとき 10gaA<logaB⇔A>B 大小反対
のように底aと1の大小によって、不等号の向きが変わることに要注意。
(3)10g2xについての2次不等式とみて解く。
(1)真数は正であるから,2x>0かつ3x+14>0より
14<x<
<x<2
......
①
3
0.3は1より小さいから,不等式より
って x-3
①②の共通範囲を求めて
-3≦x<2
2-x≦3x+14
<0<a<1のとき
(2) 真数は正であるから, x-2>0かつx-4>0よりx>4
1=log22, log(x-4)=-log2(x-4) であるから,
loga A≤loga B
A≥B
(不等号の向きが変わる。)
条件
程
=0
は
手は
log2(x-2)<log22-10g2(x-4)
log2(x-2)+10g(x-4)<10g22
不等式は
x
ゆえに
よって
底2は1より大きいから
ゆえに x26x+6 < 0
義
log2(x-2)(x-4) <log22
x>4との共通範囲を求めて
(x-2)(x-4)<2
よって3-√3 <x<3+√3
(3) 真数は正であるから x>0
4<x<3+√3
log24x=2+10gzxであるから,不等式は
ゆえに
これから, x-2<-
x-4
が得られるが, 煩雑になる
ので,xを含む項を左辺に
移項する。
>0 [s]
x²-6x+6=0 を解くと
x=3√3
また √3+3>1+3=4
log2x=t とおくと
t2-t-2>0
よって (t+1)(t-2)>0
ま
要
要と
と
C
Op.293 EX115
(10g2x)210gzx-2> 0
(logzx+1) (10g2x-2)>0
log2x<-1, 2<log2x
したがって
logzx<log2/1/23 log24<10gx
底2は1より大きいことと,①から
0<x<½½, 4<x
M
練習
次の不等式を解け。
178 (1) log2(x-1)+10g(3-x)≦0
(3)210g x>(10g3.x)2
忘れやすいので注意
(2) 10gs(x-1)+10g(x+2)≦2
