S
四面体 ABCD において, ADOP
GA, GB, Gc, GD とする。 線分AGA, BGB, CGc,
する点は一致することを示せ。
指針
に内分
p.103 基本事項
点が一致することを示すには,位置ベクトルが等しいことを示す。
すなわち, 線分AGA, BGB, CGc, DGn を3:1 に内分する点の位置ベクトル(4つ)を、
それぞれ点 A, B, C, D の位置ベクトル a, b, c, d で表し, それらが等しいことを
示す。
CHART 分点の活用 点が一致位置ベクトルが等しい
点A, B, C, D, GA, GB, Gc, Gp の位置ベクトルをそれ
解答ぞれ,,,d, ga, gs, gc, gn とすると
TAAH
となる
b + c + à
←
+c+a
=
9A
gB
=
3
3
とらえると、次 3
A
a++
a+b+c
gc=
B
JD
3
3
+
よって, 線分AGA, BGB, CGc, DGD を3:1 に内分する点
の位置ベクトルをそれぞれ,Q,
の
とすると
C
E
-GA
←
r=
ゆえに
1.a+3gA a+b+c+à
3+1
4
←
1.6+39B _ a+b+c+d aast
9=
=
3+1
1・č+3gc_a+6+c+ds= 1.d+3gp_a+b+c+d
3+1
b=q=r=s
4
3+1
00
4
よって, 線分AGA, BGB, CGc, DGD をそれぞれ3:1に内分する点は一致する。
50
四面体の重心
上の例題における一致する点は四面体 ABCD の重心と呼ば
