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基本
例題
111 変曲点に関する対称性の証明
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00000
eは自然対数の底とし, f(x) = exex+b+c (a, b, cは定数) とするとき
曲線y=f(x) はその変曲点に関して対称であることを示せ。
指針
まず,変曲点(b,g) を求める。次に証明であるが,点(b,g)
のままでは計算が面倒なので, 曲線 y=f(x) が点(p,g) に
関して対称であることを, 曲線 y=f(x) をx軸方向に -p, y
軸方向に -q だけ平行移動した曲線 y=f(x+p) -g が原点
に関して対称であることで示す。
曲線y=g(x)が原点に関して対称g(-x)=-g(x)
y
y=f(x+p-g
・基本 105
O
P
\y=f(x)
g(x)は奇関数
y=ex+a+e-x+b_
解答 y=0 とすると
y" =ex+a-e-x+6
exta=e-x+b
ゆえに
x+α=-x+b
b-a
よって x=
e=ea=B
2
ここで,p=- とする。
b-a
xpのとき,2x>2p=b-aから
x+a>-x+b
<このとき
> 0
y"
x<pのとき, 2x<2p=b-aから
x+α<-x+b
このとき
<0
y"
y" の符号の変化は,右の表の
ように
x
p
0
+
f(p)=epta-e-p+b+c=cであ
るから,変曲点は点 ( b, c)
曲線y=f(x) をx軸方向に D,
軸方向に cだけ平行移動すると
y
変曲点 U
x=pはextae-x+b=0
の解であるから
epta-e-p+6=0
nは上に凸, Uは下に凸)
y=f(x+p)−c=ex+p+a_e¯(x+p)+b+c-c
=exta_
a+b
-x+
この曲線の方程式を y=g(x) とすると
g(-x)=e-x+a+be+a+b= - (ex+a+b - e-x+a+b)
<曲線 y=f(x) をx軸方
向に s, y 軸方向にだ
け平行移動した曲線の方
程式は
y-t=f(x-s)
y ly=g(x)
g(a)--
よって, g(-x)=-g(x) が成り立つから, 曲線 y=g(x) は
原点に関して対称である。
-a
ゆえに、曲線y=f(x) はその変曲点 (p, c) に関して対称
10α
x
である。
f(p-x)+f(p+x)=2c が成り立つことからも、例題
の曲線が変曲点に関して対称であることがわかる(p.178
グラスは変曲点に関して対称
g(-a)
