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例題 355 外心の位置ベクトル
△ABCにおいて, AB=8,BC=7, CA = 5 とする。 辺ABの中点をM,
辺ACの中点をN, △ABCの外心をPとするとき、AB=1, AC=2と
して、次の問いに答えよ..
209
XOS JE
(1) 内積
.1
(2)
|考え方 (1) BC=AC-AB=C-1 であることを利用する.
解答
を求めよ.
MP⊥AB,NP⊥AC を利用して, AP を , を用いて表せ。 (I)
(2) Ap=s+tc とおいて MP･AB = 0, NP.AC=0 を計算し,s,tを求める.
(1) |BCP²=|c-b³²=|c|³²-26•c+|6|²
(2)
0-08
7²=52-20・C+82 より 20
AP= so+tc とおくと,
MP=AP-AM=sb+tc-2b = (s-12) b + tc 20
S
NP=AP-AN=sb+tc¬½c = sb + (t = 1/2 ) c
MP⊥AB より, MP･AB = 0 だから,
MP.AB={(s-2)6+tc}.b=(s— 2/2 ) b²+ tb •č
S
= 64(S-2) +20
=64s- +20t = 0
・①
003より。
| 16s+5t=8
NP⊥AC より, NP･AC=0 だから,
NP.AC=
=20s +25t-
³•AČ={sb+(t—½)¢}·c=sb•ċ+(1—2 ) ¢²
1/12) = 0
(別解) AP = s + tc とおく.
=0+A
より,
8s+10t=5
・
①.②より,s=121.t=17/03 だから、AP=12/26 2/23
24
15
LXD
内積の性質より, AP･AM=4°=16, APAN=(-2)-25
③,④より, s=i
.③
APAN=(s6+tc). 12c=/1/2s62+1/21 CR
+251-25
=10s +
2
4
2
14.1-13 だから、
15
24
=32s+10t=16
***
8
M
B
7
点Pは外心だから
PM は ABの垂直
二等分線となる.
つまり, MP⊥AB
>30, MP•AB=0
内積の図形的意味
(p.586, p.628
したがって, AP･AM=(s6+tc)/12/6=1/12s16p+/12/16c Column 参照)
4
2
AP=¹16+ c
24
15
JP
A
N5
①
C
平面上に三
例
O.A-Bがあるとき
ABIの点をPとす
OP² = SONT EOB³
でできる。
