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0
指針 定義域が 0≦x≦a であるから, αの値の増加とともに定義域の右端が動き, 図のように,
xの変域が広がっていく。 まず, 各場合のグラフをかき, 頂点と区間の両端の値を比較
して, 最大・最小を判断する。
(1) 軸
(2) 軸
14
2次関数の最大・最小 (3)
基本例題 78
2 は正の定数とする。 定義域が 0≦x≦a である関数 y=x2-4x+1の最大値およ
び最小値を、次の各場合について求めよ。
(2) 2≦a<4
(1) 0<a<2
解答
関数の式を変形すると
[1]
(2) 2≦α<4のとき
0
a²-4a+1
(3) α=4のとき
(4) 4 <αのとき
1
a
y=(x−2)²—3 ™E=(0) MAJ 0=
関数 y=x2-4x+1のグラフは下に凸の放物線で,
軸は直線x=2,頂点は点 (2,-3)である。
(1) 0<a<2のとき
x=0で最大値1, x=2で最小値-3
1
最大
グラフは図[1] のようになる。
x=0で最大値1, x=αで最小値α²-4a+1
グラフは図[2] のようになる。
|軸
グラフは図[3] のようになる。
x=0, 4で最大値1, x=2で最小値-3
a 2
O
1
最小
a
グラフは図[4] のようになる。
x =αで最大値α²-4a+1, x=2で最小値-3
[2]
ha
May 軸
0
a²-4a+1
-3
(3)
[最大]
2 ar
(3)a=4
14 x
17
チキ
F
| 最小
軸
[3]
[ [2]
1
a
0
最大
-3--
(4)
x0
12
(4) 4 <a
Ay
最小
キ
最大
14 x
a x
(検討
例題78では,α = 2,4が場合分けの
境目であるが
(1) 0<a<2のとき, 軸は区間の右
外。
2<αのとき, 軸は区間内にあり
(2) 2 <a<4のとき, 軸は区間の中
央より右にあるので, x=0の方
が軸から遠い。
|a=2のときは, 軸は区間の右端)
x=2) に重なる。
(3)a=4のとき, 軸は区間の中央
に一致するから, 軸とx=0, a と
の距離が等しい。
基本77
(4) 4 <a のとき,軸は区間の中央
より左にあるから, x=a の方が
軸から遠い
■頂点
●区間の端
[4] y |軸
-3
129
1
0 近
2-40+1 最大
12
14ax
G30
最小
3章
10
