-
![]()
基礎問
精講
170 第6章 微分法と積分法
109 面積(V)
放物線y=-x+3 ①, y=x2-5x+11 ..... ② につい
て,次の問いに答えよ。
(1) ①②の交点の座標を求めよ.
(2)mm,nは実数とする. 直線 y=mx+n...... ③ が ①,②の両
方に接するとき,m,nの値を求めよ.
(3)①,②,③で囲まれた部分の面積Sを求めよ.
(2)90 によると,共通接線には2つの形があります。
(3) 図をかいてみるとわかりますが, 面積を2つに分けて求める必
要があります。 それは,上側から下側をひくとき (106) 上側の
式が2種類あるからです.
y-(2-t+3)=(2t-1)(x-t)
y=(21-1)x-t²+3
これは、②にも接しているので、
x²-5x+11=(2t-1)x-12+3
より2(+2)x+t2+8= 0
の判別式をDとすると, 20
4t-4=0
D
=0
4
∴. t=1
(t+2)-(t2+8) = 0
よって、 ①,② の両方に接する直線は,y=x+2
m=1, n=2
(3)Sは右図の色の部分.
.
S={(2x+3)(x+2)}dx面積を
解答
(1)①②より,yを消去して
x²-x+3=r2-5x+11 ∴. 4x=8
:.x=2 このとき,y=5
よって, ① ② の交点は (2,5)
(2)(i) ① ③ が接するとき
判別式をDとすると D=0
x+3=mx+nより2-(m+1)x+3-n=0
:.m²+2m+4n-11=0 ...... ④
(i) ② ③が接するとき
(m+1)2-4(3-n) =0
2-5x+11=mx+nより-m+5)x+11-n=0
判別式を D2 とすると, D2=0
(m+5)2-4(11-n) = 0
:.m²+10m+4n-19=0
④ ⑤ より
..... ⑤
171
140
分ける
15
③
+∫{(x-5.x+11)(x+2)}dr
①
13
12
J1
(x-1)²dx+√(x-3)²dr
(*)
0123
IC
1
2
3 3
=113 (1-1)+113 (1-3) 11-13
注 (*)で定積分する関数が完全平方式になるのは当然です.
106の を見てください.
「上にある式一下にある式」という計算は、2つの式を連立させて」を
消去する作業と同じことをしているので,交点のx座標がかくれてい
ることになります。 ①と③の交点が,r=1 (重解) だから,
「上にある式一下にある式」=(x-1)^ となるのは当然です .
ポイント
上にある式や下にある式が積分の範囲の途中で変わる
ときは,面積はそこで分けて考える
