例題252 回転体 本榎
1辺の長さが2αの正四面体 A-BCD を, 辺ABを軸
として1回転させるとき, ACD が通過する部分の体
積を求めよ.
7540
考え方 △ACD がABを軸として回転するとどうなるかのイメージ
LAUR
がつかみにくい場合は, ACD を部分的に見てみる.たとえ
ば,辺 AC が AB を軸として回転するとどうなるだろうか.
さらに、 辺CDの中点をNとしたとき, AN が AB を軸とし
て回転するとどうなるか. このように,具体的に考えてみる.
A
B
C
A
解答
ABの中点をMとすると, △ABCと△ABDは正三角
形より,
KAE
ABLCM
AB ⊥ DM
よって, AB⊥平面 MCD となり,
ABCD
B
B
正四面体であることを考えると,辺 AD が AB を軸にして回転すると辺 AC の場合と
同じになる。 DE
このように考えると, △ACD の動く範囲が見えてくる.
ここで,上の図のように, CからABに垂線を引いたときのAB との交点とNから
ABに垂線を引いたときの交点は一致することを利用する.
N
A
2300400ENNET
IDXAF
したがって, CD 上の任意の点PとAとを結んだ線分 AP
を,ABを軸として1回転させると, A を頂点とする円錐
の側面になる.
また, △ABC, △ABD は合同な正三角形より, AMCD
はMC=MD の二等辺三角形であるから, CDの中点をN
とすると、点Mと辺CD 上の点を結ぶ線分で最も長いもの
は MD (MC) , 最も短いものはMN である.
N
平面 MCD は回転軸
に垂直な平面である.
点PがCDの中点
になるとき、考え方
のNの場合になる。
F
