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重要 例題 38 am = pa型の漸化式
a=1, an+1=2√an で定められる数列{an}の一般項を求めよ。
指針 に がついている形, a㎡²2 や an+] など 累乗の形を含む漸化式
解法の手順は
①1 漸化式の両辺の対数をとる。 am の係数りに注目して、底がりの対数を考える。
-log.MV=log..M+log.N
logpasti = logsp+logpan"
←log A=klog.M
すなわち logpan+1=1+qlogpan
[2] logpam=ba とおくと
0m+1=1+gbm
but=b.+▲ の形の漸化式 (p.464 基本例題 34のタイプ)に帰着。
対数をとるときは, (真数) > 0 すなわち a>0であることを必ず確認しておく。
CHART 漸化式 α+1 = pa" 両辺の対数をと
よって, an+1=2√an の両辺の2を底とする対数をとると
log2an+1=loga 2√an
log2an+1=1+
ゆえに
α=1>0で, an+1=2√an(>0) であるから, すべての自に注意
解答然数nに対して an>0である。
-log₂ an
2
bat1-1+1/230円
bn+1-2=1/12 (6-2)
10gzam=bm とおくと
00000
これを変形して
ここで
bı-2=10g21-2=-2
よって,数列{bm-2} は初項-2,公比 の等比数列で
An-1
bn-2=-2
=-2(12) すなわち bm=2-23-
したがって, log2an =2-22 から an=22-2
antipa
厳密には、数学的
で証明できる。
◄loga(2-a)
練習 α1=1, an+1=20m² で定められる数列{an}の一般項を求めよ。
③ 38
= log22+=logia,
◆特性方程式 a = 1+120
を解くと α=2
=2¹-"
logaan=pand"
anan+1 を含む漸化式の解法
検討
anan+1のような積の形で表された漸化式にも両辺の対数をとる が有効である。
例えば, logcanan+1=10gcan+logcan+1となり, logcan と 10gean+1の関係式を導くことが
できる。
[類 慶応大]
p.496 EX21
a
