【中3数学】相似な図形① 相似条件

相似な図形平行線と比相似な図形の面積比と体積比

508

赤城 (◕ᴗ◕🎀)＠ｹｲﾄﾘﾝ

Junior High3

まとめと
リクエスト証明例

期末テスト範囲はここまで

2025.11.05 公開

中3 数学相似証明赤城 math

Comment

Comments are disabled for this notebook.

ノートテキスト

ページ1:

テストで点をとるためだけのノート
(理屈は授業でよく聞いてね)
【相似な図形と相似条件】
1 図形の拡大・縮小と相似
(1) 平面上で、1点0を定めて図形を拡大したり縮小したりしたとき、
対応する線分の比は、点から対応する2点までの距離の比に
等しい。
(2)(1)のとき、対応する角の大きさはそれぞれ等しい。
(3) ある図形を拡大したり縮小したりした図形と合同な図形は、 もと
の図形と相似であるという。
2 相似な図形の性質
(1) 対応する線分の比はすべて等しい。 相似比という
(2)対応する角の大きさはそれぞれ等しい。

ページ2:

3 相似の位置
相似な図形の対応する2点を通る直線がすべて1点0で交わり、
0から対応する点までの距離の比がすべて等しいとき、 それらの図形
は相似の位置にあるといい、このときの0を相似の中心という。
相似の中心の見つけ方
・・・対応する頂点を直線で結び、 それらの直線の交点
が相似の中心となる。
4 相似条件
(1) 3組の辺の比がすべて等しい。
A'
A
(2) 2組の辺の比が等しく、
その間の角が等しい。
(3)2組の角がそれぞれ等しい。
入試に出る証明の
99%がこれ
C
B
B'
'C'
a
A'
C
A
B
C
B'
'C'
a
a'-
A'
△△
B
C
B'

ページ3:

相似の証明①
下の図で, AM =4cm, BC=12cm, DM=9cm である。
点 M が線分 BCの中点であるとき,三角形ABM と三角形 CDM
が相似であることを証明しなさい。
A
C
B
M
D

ページ4:

【証明】
解答例&プチ解説
@
△ABM と △ CDM において
Mは BC の中点だから
BM = CM = 6cm
よって
AM: CM=4cm:6cm = 2:3
・①
同様に
BM: DM = 6cm:9cm=2:3
対頂角は等しいから
LAMB = ∠CMD
③
① ② ③ より 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
△ABM
△CDM
C
B
A
4 cm
16cm
相似比は2:3
16cm
M
9 cm
D

ページ5:

相似の証明②
下の図の三角形ABCで,点 B, C から辺 AC, AB にそれぞ
垂線を引き, 交点をD, E とする。 このとき,三角形 ABD と三
角形 ACE が相似であることを証明しなさい。
B
E
A
D
C

ページ6:

解答例 & プチ解説
【証明】 △ABD と ACE において
仮定より
∠ADB= ∠AEC = 90°
①
共通な角より ∠BAD = ∠CAE
②
①,②より, 2組の角がそれぞれ等しいから
△ABD △ACE
A
A
00
90
DE
DE
B
B
別々にお絵かきすると
見やすいよ♪
00
90
A
C
C

ページ7:

相似の証明 ③
図のように, AB=9cm,
BC =6cmである三角形ABCの
辺 AB 上に, AD = 5cm である点 D をとる。
このとき,後の(1),(2)の問いに答えなさい。
A
9 cm
15cm
D
B
6cm-
(1) 三角形 ABC と三角形 CBD が相似であることを証明しなさい。
(2)∠BAC = ∠ACD であるとき, AC の長さを求めなさい。

ページ8:

解答例 & プチ解説
(1) △ABCと△CBD において
AB: CB = 9cm:6cm=3:2
BC: BD = 6cm:4cm=3:2
共通な角より ∠ABC= LCBD
①
3
① ② ③より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
AABC có ACBD
15
(2)
2
A
A
9cm/5cm
C
9 cm
D
6 cm
14cml
C B
C
B
D
B
6cm
6cm
4 cm
相似な図形の対応する辺の比は等しいから
AC:CD=3:2
CD = 5cm より AC: 5cm = 3:2
よって AC = 15/2

ページ9:

相似の証明④
□ 図のように, AC=20cm, BC = 15cmの直角三角形ABCが
あり、頂点 Cから辺ABに垂線を引き, 交点をDとしたところ,
AD = 16cm となった。
C
(1) 三角形ABCと三角形 ACD
20cm
15cm
が相似であることを証明しなさい。
(2)辺 CD, BD の長さをそれぞ
れ求めなさい。
A16cm D
B

ページ10:

解答例 & プチ解説
(1) △ABCと△ACD において
仮定より
∠ACB= ∠ADC = 90°
共通な角より ∠CAB= ∠DAC
①,②より, 2組の角がそれぞれ等しいから
AABC có AACD
(2)CD = 12cm
BD = 9cm
90
20cm
20cm
15cm
15cm
16cm
90
A 16cmD
B
B
20cm
△ABCと△ACD の相似比は
AC: AD = 20cm:16cm=5:4
相似な図形の対応する辺の比は等しいから
BC:CD = 5:4
BC = 15cm より 15cmCD = 5:4
よって
CD=12cm
90
12cm
△ACD~ △CBD で、 相似比は
20cm:15cm=4:3
A
20cm
相似な図形の対応する辺の比は
等しいからCD:BD=4:3
90
CD=12cm より
12cm:BD=4:3
C
15cm
よって
BD = 9cm
B

ページ11:

相似の証明 ⑤
下の図で,三角形ABC と三角形ADE は正三角形である。
辺 AC と辺 DE との交点をF とするとき、 三角形 ABD と三角形
AEFは相似であることを証明しなさい。
B
D
A
F
*C
E

ページ12:

解答例 & プチ解説
△ABDと△AEF において
仮定より
LABD = LAEF =
60°
①
LDAF を とすると ∠BAD
= 60°-a
...②
LEAF = 60°-a ...③
② ③ より LBAD = LEAF
① ④より, 2組の角がそれぞれ等しいから
△ABD △AEF
B
60
④
A
60-a
60-a
a
見やすくするため
に置きかえている
だけ
60
E
F
・C
D
GOOD LUCK♪